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ou, ce qui revient au méme, a cette au tre 



{x-~a){x—[i)y" + {a{x — [^) + b{x—a))y'Jri^^—\){a + b~iii—2)y = (58), 



en prenant pour i^i Tune quelconque des valeui's ^' et /*", exprimées, ainsi que a et b, 

 en p, q, r par les formules (33) et (34). 



Quand les parties reelles de /u — a-\-2 et /u — b-{~2 sont en méme temps >0 

 pour ,u^^ju' ou fi=,u'\ la formule (30) donne Tintégrale 



y=AI)''^Jx-a)''-''+\x-/if~' + ' + BDl^^ix-af''+\x-/3f-'+' (59). 



D'aprés le resultat obtenu dans le § précédent, cette formule contient Vintégrale générale, 

 toutes les fois qu'aucune des quantités ," ou a-\-b — jn — 3, c.-ä.-d. f^ on ^u", n'est un 

 nombre entier positif ou zéro. 



Dans tout autre oas, on peut faire dépendre Tintégration de Téquation (58) de 

 celle d'une autre équatioli a laquelle la formule (59) est appliquable. On peut y 

 arriver par des procédés divers, desquels nous allons considérer d'abord celui de Tin- 

 troduction de nouvelles variables. 



Substituons, dans Téqu., (58) 



d' 



ou 



y = (^ — «)'. Z (60), 



y^{x — a) [{x — c()2'-{-Åz] 



y"={x-~af~%x — ciyz"-^2Å(x — a)z'-\-Å(X — l)z], ' 



nous aurons 



{x — «)- (x — /S)z" -\-{x — «) [{a + 2 ;i) (a? — /?) + b{x — a)]z' 



+ [^(A + a — 1)(^ — /?) + (A6 + (^4-l)(a + 6— ^ — 2))(.f — «)]^ = (61). 



Partant de cette équation, on obtient les deux transformations suivantes, em- 

 ployées eauparavant par M. Spitzer. 



Premiére transformation. 



Prenant en (60) et (61) 



Å = l — a 



et divisant par x — «, on trouve que Téqu. (58) se transforme, par la substitution 



y^^ix-ccy-^.z (62), 



en 



(x — r4) (x — fJ)z"^[(2 — a) (x— /i) + b{x — a)]z' + (,u — a-\-2) (h—/u—l)z = 0... (63). 



Cette équation se réduit k la méme forme que Téqu. (58), ou 



{x — a){x — /3)2"-]-[a,{x — r^')-{-b,{x — a)]-\-(/i,-\-l)(a,-\-b,—^,-^2)z^0, 



