INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFF É RENTI ELL E. 19 



en posant 



jLi — a-f-l — ,«i 



2 — a = ai 



b--=h,. 



Un resultat analogue s'obtient évideminent par la substitution en (58) de 



y = {x — /iy 'z. 



Pour indiquer plus commodément cette transformation, désignons l'intégrale générale 

 de Téqu. (58) par 



y^F,lu,a,b) (64); 



ainsi les transformations dont il s'agit maintenant, peuvent s'exprimer par la relation 



i^>,a,6) = (^--«r"i^>-fl + l,2-a,6) = (^'-/^y"V>-6 + l,a,2--6) (65). 



Cette relation a lieu pour Tune ou Tautre des valeurs ,u = ,u' et jU^/ii" indifféreinment ; 

 car on a évidemment 



F,(m, a, b) = F,{M", a, b) (66), 



ou 



F^i.u, a, b)^F,{a^b-,u-3, a, b) (67), 



réquation (58) ne changeant pas en reinplagant /* par a-\-b — ,« — 3. 



Si Ton veut appliquer de nouveau ä Téqu. (63) la transformation 



z = (a'— /^) v, 





ou bien a Téqu. (58) la transformation 



y^{a 

 on a, par les formules (65) et (67), 



-^X«-« + l, 2-a, &) = (^-/i)'" V>-fl-6 + 2, 2-a, 2-6) 



^(^_/,y-V,(-(,» + l), 2-a, 2-6). 

 Substituant ce resultat en (65), on a aussi 



F,lu,a,b)^{x-ar\x-[i)'-'FJ,-{,uJrl),^-a,2-b) (68), 



ce qui contient la transformation cherchée, et permet, si Ton veut, de former immédiate- 

 ment Téquation en v par le changement, en (58), de /u^a^b en — (,«-|-l), 2 — a, 2 — b 

 respectivement. 



Seconde transformation. 



Dans Téqu. (61), nous introduisons une nouvelle variable indépendante u, liée ä x 

 par la relation 



X — « = (69), 



