INTEGRATION d'uNE BQUATION DIFFÉrEN TIELLE. 21 



leurs parties reelles >0. La formule (59) fournit alors des intégrales finies et dé- 

 terminées. Les mémes transformations permettent d'assigner ä ces intégrales des formes 

 diverses dont nous nous bornerons a donner celles qui suffiront pour exprimer les 

 intégrales générales dans tous les cas possibles. 



A cet effet, il faut d'abord se rappeler la remarqne du § 2, qu'au moins pour 

 ,M = ,w', la partie reelle de Tune des deux quantités 



A< — ö! + 2 et ,« — 6 + 2, 

 est nécessairement >0, supposé toutefois que les constantes p, (^, ?' en (56) soient reelles. 

 Du reste, lorsque pour' ju^/i' les parties reelles de ces quantités sont ä la fois >1, 

 elles seront <0 pour «=,m"; lorsqu'elles sont >0 mais <1 pour ^ = ,«', il en sera de méme 

 pour ^— /<"; et enfin, lorsqu'elles sont de signes contraires pour ^u ==//', elles conserveront 

 les mémes signes pour ^*=,a". Il y a donc lien de distinguer les cas suivants. 



1. Les parties reelles de /u — a + 2 et de ,« — 6-|-2 sont >0, au moins pour /u^^u'. 



Alors, suivant (56) — (59), notre équation a pour intégrale 



y = ^D^ J^-cO (x — /i) -^BD^^^(.x~ a) (.v~-/i) ^ (75), 



expression finie et déterminée au moins pour /u = ju'. D'aprés le resultat obtenu § 3, 

 cette formule donne (au moins pour /u=^/u') I' intégrale générale, toutes les fois que ni ,« 

 ni a-\-J> — /< — 3, c.-ä.-d. ni /n' ni ,«", ne sont des entiers positifs ou zéro. Dans ce cas 

 d'exception, les deux intégrales particuliéres en (75) se confondent en une seule. 



S'il arrive que Tune ou Tautre des quantités i^' et /*" soit un entier positif ou 

 zéro, on peut faire usage de la transformation (68), qui, ä laide de la formule (67), devient 



y=:i^X",«,^) = (.i— «)"V~/^rX(-(^ + ö---«~2), 2-a, 2-h). 

 L'intégrale (75) peut donc étre remplacée par 



y = (^.__«)^-'^(^,._;y)-*|^D;(;+'"""%-«)"-'+'(^-/?>"-"+' 



■ +BY)-^l+'-'-%t-aT-'+\x-li)"-''+'\ (76), 



qui est Vintégrale générale au moins pour fx=^^\ pourvu que ni — {a-\-h — ,«' — 2) 

 = — (,«"-f-l) ni — (,w'-|-l) ne soient des entiers positifs ou zéro, c.-ä.-d. toutes les fois 

 qu'aucune des quantités ,"' et ,m" n'est un entier négatif <0. 



Les deux formules (75) et (76) suffisent donc pour donner Tintégrale générale, 

 excepté lorsque ,«' est un nombre entier positif ou zéro, et en méme temps ,«" un 

 entier négatif <0. Mais alors on a recours ä la transformation (65), ou 



y = i';(,M,a,6) = (^'-/?)'"V>-6 + l,a,2-6), 



qui présente Tintégrale de Téqu. (58) sous la forme 



y' = {x — li) \ÄD^^ ^ {x-cc) ^>(x — fi) -\-BD\^^ ^ (x — cc) '■ ^ '{x—/y'y \ (77). 



