INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DI FFÉRENTIELLE. 23 



oii u — /? 



x-fi 



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valeur iinie tant pour ,u^/u' que pour ,u^fi", et donnant Vintégrale générale pour telle 

 des deiix valeurs qui n'est pas un entier positif ou zéro; car nous avons supposé 



Si, au contraire, ,u' et fi" sont ä la fois des entiers positifs (zéro compris), cette 

 formule ne donne qu'une intégrale particuliére. Alors, en vertu de la formule (65), on 

 peut poser en (79) 



i^^X", '"'. 2,M+4 — a— 6)---(r« — «)'"XCa — a + 1, 2 — a, 2» + 4 — a — 6) 



- C-:7)"X(^'-«+l' 2-«, 2^/. + 4-a-/>), 

 ce qui conduit a la forme d'intégrale 



+ BTy"-; + \u-anu-I^V'-'+''\ (81). 



o («-/«)' - 



ou U — P = • 



Cette formule donne l'intégrale générale tant pour ^=/<' que pour, «=,«", a moins 

 que ,M — a-f-l ne devienne un nombre entier positif ou zéro. Donc les deux formules 

 (80) et (81) suffisent pour exprimer Tintégrale générale, a Texception du cas ou 

 simultanément 



,u'^m, )£' ^n et //' — a-\-\=^r, ce qui entraine aussi fJ — ?j-|-1 = — (s-|-l), 

 én vertu de la relation ^" = a-)-6— ,«' — 3, et de telle sorte qu'entre les nombres 

 entiers et positifs m, n, r, s subsiste la relation 



?u -|- s := n -f- r. 



C. ^'<0 et ,""<0 quant aux parties reelles. 



Dans la formule (72), changeons ^* en a-\-h — ^ — 3. En ayant égard å la 

 relation (67), on trouve 



y = F^{,u, a, b) = FJ^a + b — ,f^— 3, a, b) 



-(*— «)^'"+*~"~V„(a + 6— ^< — 3, a + 6 — 2,« — 2, b). 

 Or, en vertu de (67), on a aussi 



^> + 6-^ — 3,a + 6 — 2/* — 2,6)-i^„(-(,a-6 + 2),a + 6-2^« — 2,6); 



donc 



y = F>,a,6) = (^-«) ^''+' " V,(^(/.-6 + 2),« + 6-2,«-2,/)) (82), 



ou u — « = 



X — It 



