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Nous pouvons donc proposer Tintégrale de Téqu. (58) sous la forme 



y = (a; — a) |^D^,,„ {u—cc) {u—l:t) 



+ -^\/j (m — «) (m — /?) I (83), 



ou , u — « = 



Gette formule représente Vintégrale générale pour telle valeui- de ^ qui ne fasse pas de 

 fl — 6-|-2 un entier négatif ou zéro. Lorsque au contraire ,« — 6-)- 2 devient un entier 

 négatif ou zéro tant pour ju^^fj! que pour fx^^p!\ on peut se servir de la trans- 

 formation suivante: 



Changeant en (82) ,« en a-\-h — fi — 3, ce qui n'altére pas la valeur de y, on a 



y = i^^(/«, a, 6) = '(a; — «)~'^"^'X(/'« — « + l. 2,m + 4 — a — 6, 6); 

 or, suivant (65), 



^»,(," - a + 1 . 2,M -f 4 — a — 6, ft) = (m — /5)' " V„(— (a + 6 —^ — 2), 2,» + 4 — a —6, 2 — 6) ; 

 donc 

 y-i^>,a,6) = (^-«)~^"~*"^'V-/?)'~'i^«X-(« + 6-^-2),2,« + 4-a-6,2-6), 



ou M « = , 



ce qui donne Tintégrale de Téqu. (58) sous la forme 



+ -^^^t,/3 (^ — «) {x — ii) \ (84), 



ou M «= . 



a; — K 



Puisque nous supposons ,« — 6-j-l <0 quant a la partie reelle, cette formule présente 

 1'intégrale générale pour telle valeur de fi qui ne fasse pas de — {a-\-b — ^ — 2) un 

 entier positif ou zéro, c.-ä.-d. en vertu de la relation ^" = a -|- 6 — ^t*' — 3, toutes les fois 

 que ;«-' et /n" ne sont pas simultanément des entiers négatifs <0. 



Les deux formules (83) et (84) suffisent par conséquent å exprimer Tintégrale 

 générale de Téqu. (58), si Ton excepte le cas ou a la fois 



^' = — (to+1), ,«" = — («+!), ,«'— /, + !=. ™(s+i), 



ce qui entraine aussi fi' — a-\-l — r, ou, entré les nombres entiers positifs (ou zéro) 

 m, n, r, s, subsiste la relation 



m-\-r =^ n-\- s. 



