INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELL E. 25 



3. ,« — a-\-2^0 et /il — 5 + 2^1, quant aux parties reelles. 



Ce cas rentre dans 2:o) en y permutant a et b, « et /i. 



Quelques cas trés-particuliers échappent a ces formules. Leur caractére commun 

 est que les 4 > quantités 



,«, a-\-b — ,u — 3, /il — «+l, ," — ^ + 1 



sont en raéme teinps des nombres entiers positifs, négatifs ou zéro, de telle sorte, toute- 

 fois, que lorsque ju, et a-\-b — ,« — 3 ou, ce qui revient au méme, /u' et/'" sont de memes 

 Signes, les deux autres jU — a-\-l et fi — b-\-\ sont de signes contraires et réciproque- 

 ment, zéro étant considéré comnie valeur positive. Toutes nos formules ne donnent 

 alors qu'une méme intégrale particuliére. 



Ces cas offrent cependant un intérét special par suite de leur relation avec la 

 théorie des fonctions sphériques. Cest pourquoi nous allons considérer en particulier, 

 dans le § suivant, les intégrales qui correspondent k des valeurs entieres de toutes 

 les quantités 



,u, a-\-b — ,u — 3, JU. — a+l) /""^ft + l. 



§ 5. 



Quelques cas particuliers remarquables. 



" Suivant le Théorhne 3 (§ 3), Téquation 



(a; — «)(a; — /?V + (rt(a; — /i) + 6(a; — «%' + (,aH-l)(a + 6— /t — 2)y = (85) 



a toujours une intégrale particuliére algébrique et entiére, lorsque Tune ou lautre des 

 quantités ,u et a-\-b — ,u — 3 (,«' et ,t*") est un entier négatif <0. L'équation peut 

 méme avoir deux intégrales différentes de cette espéce aux conditions exposées dans 

 .le méme théoréme. 



Maintenant, Tintégrale générale de Téquation (85) peut étre proposée sous diverses 

 formes moyennant les formules (65) et (68), ce qui équivaut ä la transformation de 

 réquation méme en d'autres faciles a former par un changement de lettres en (85). 

 Ainsi nous avons 



y = F{ju,a,b)=^{x^af'''F{jii — a-Yl, 2 — a, 6) = (a' — /:^)'"V(,u — 6+ 1, a, 2 — 6) 



= (a;-«)^-"(^-/i)'-V(-(M+l),2~a,2-6) (86), 



ou Ton peut prendre 'ä volonté f^^^ju.' ou ,«=,t*", c.-å.-d. clianger /* en a-\-b — f^ — 3. 

 De ces formules de transformation, on conclut, ä Taide du théoréme cité, que 

 réquation (85) a au moins une intégrale algébrique, toutes les fois que Tune quel- 

 conque des quantités 



JU, a + 6— ,a — 3, jii — a-^l, ,» — 6 + 1 (87) 



est un entier positif, négatif ou zéro. Par les formules (86), on peut ensuite proposer 

 cette intégrale sous diverses formes, parmi lesquelles se trouve celle d'une dérivée å 

 indice entier et positif, multipliée par certaines puissances de x — ce et de x — A'. 



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