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Supposons maintenant que les 4 quantités (87) soient a la fois des nombres entiers. 

 Les intégi'ales générales des équations correspondantes s'obtiennent par les forinules du 

 § précédent, ä Texception du cas ou /* et a-\-b — /u, — 3 sont de luémes signes, tandis 

 que ,u — a-f-l et ,u — b-\-l sont de signes contraires, et réciproquement. Nous revien- 

 drons cependant ä tous ces cas, afin de presenter les intégrales si possible sous la forme 

 la plus simple, celle de dérivées a indices entiers et positifs, multipliées par des 

 puissances de x — « et de x — fi. 



Soit donc . " 



' ! 



1. ,t*' = — (m-\-l), /u"^ — (?2-(-l), fl' — a-\-l = r, /u' — J-|-l=,s;j 

 ou, entré les nombres entiers et positifs (ou zéro) m, n, r, s, existe la relation 



n =^ jti -\- r -\- s -f- 1 



correspondant ä la condition générale iu,"^a-\-b — fi' — 3. 



L'équation k intégrer est,- par conséquent, en éliminant n, 



(x^a) {x—fi}y"—[(m + r) {x—/i)-\-(m-\-s) (.t — «%' + m(rrt + r + s + l)y = 0... (88). 



En vertu du Théoréme 3 (§ 3), cette équation a deux intégrales algébriques et 

 entiéres du degré m et n = ?7i -|- ?' -)- s -]- 1 respectivement. La formule (75) les donne^ 

 mais sous la forme d'intégrale's multiples. Pour les proposer sous une forme plus 

 comraode, nous avons recours aux formules (76) et (77), dont la premiére fournit pour 

 ,«=./^" = — {in-\-r-\-s-\-'i) rintégrale particuliére 



y^^{x-~a) {x—(i) \)JyX — a) {x—/y) 



qui est évidemment une fonction entiére du degré m. 



La formule (77) donne pour /ii' = — (m-\-l) Tautre intégrale particuliére 



y^==(^_/,y'+^+^D^(^'-«)"+''+^+\^— /y)-*'"+^\ 



qui est une fonction entiére du degré ?;i -)- )' -|- ,s -|- 1 --^n, de sorte que Tintégrale 

 générale de Téquation (88) est 



^_(^_/yy«+«+^[^(^_«f+'-+^D>-«)"<'-+'\..-/^)- 



^BDl(x-af+'+'+\x~/ir^"'-^''] (89). 



2. jU'' — n, /ii"=^m, fjC — a-|-l = s, /t' — hAr\^T, 



ou, comme tout a Theure, 



n^m.A^r -\- s-\-\. 

 L'équation ä intégrer est, en éliminant ??,, 



(a;— «) (*— /?)0" + [(57i + r + 2) (a; — /S') + (™ + s + 2)'(a; + «)y 



+ (m + l) (m + r + s + 2)^-=0 - (90). 



