INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉKENTIELLE. 27 



Appliquant ä cette équation la transformation 



z = F{^,ab) = {x-a)'-\x—li)'~'F{-{^-^l),2-a,2~b), 

 ce qui revient å y substituer 



réquation transformée en y devient exactement Téqu. (88). L'intégrale générale de 

 réqu. (90) est, par conséquent, 



+ 5(^-«)-"" + ' + '^D>-c.)"' + '+^ + \^'-/?r^"+" (91). 



Les deux intégrales particuliéres sont des fonctions algébriques et rationelles des dimen- 

 sions — (m-)-l) et — {rti-\-r-\-s-\-i)'^= — (?i-]-l) respectivement. 



3. /*' = s, ^t"-= — (r + 1), ^'-^a + l = n, /*' — 6 + 1 = — (?7i + l) et n = m + r+s+l. 



L'équation ä intégrer est, en éliminant n, 



(^— «)(^ — /?)z" + [— (m + r)(^— ^) + (to + s + 2)(a'— «)>' — r(s+l)2 = 0... (92). 



En y appliquant la transformation 



J'(/*, a, 6) = (^' — /?)'~V(^ — 6 + 1, a, 2 — 6), 

 qui se réduit, dans le cas present, å la substitution 



z^{x — li) y, 



on retombe de nouveau sur Téqu. (88) comme la transformée en y. L'intégrale générale 

 de réqu. (92) est, par conséquent, 



z = Ä{x~ccf + ''-^'Y)y-a)-^'+%-[iy^' + '^-^B\)l{x-^aT 



Les intégrales particuliéres sont algébriques et rationelles des dimensions — (s + l)et?' 

 respectivement. Aucune d'elles n'est une fonction entiére. Nous savons cependant, par 

 le Théoreme 3 (§ 3), que Téqu. (92) doit avoir une intégrale algébrique et entiére du 

 degré r. Pour Tobtenir, on peut se servir de la formule (76), qui donne, dans le 

 cas present, 



^,=.(^_«)'"+'-+'(^-//r^'"+^+''D'"(^-«)-''" + '\^-/y)"' + '+^+' (94), 



fonction entiére du degré r, pouvant remplacer une des intégrales particuliéres en (93). 

 Un resultat analogue s'obtient évidemment dans les cas de 



fj''=--r, jii"^ — (s + l), /"' — a + l = — (?/i+l), /il — 6 + l = ?i et n = ?7i + 'r + s+ 1; 



on n'a pour cela qu'ä permuter dans les formules précédentes r et 5, a et /?. 



