28 - HJ. HOLMGREN, 



Nous arrivons maintenant aux cas d'exception dans lesquels toutes les formules 

 du § précédent ne donnent qu'une méme intégrale particuliére. Cela arrive lorsque 

 les quantités 



ju, a-\-b — lu — 3, ,« — a-\-\ ei ju, — 6-(-l 



sont des nombres antiers ou zéro, mais de telle sorte que, lorsque ju, et a-\-h'—iu. — 3 

 {,u et /il") sont de mémes signes, /< — a-\-l et ,«- 6-)-l sont de signes contraires, et 

 réciproquement. Zéro doit étre ici considéré comme valeur positive. 



4. /u' = m, /u" — — (n-|-l), ,«' — a-\-l=7-, /li' — b-[-l = s et m-\-n = r-\-s. 



Eliminant n, Téquation qu'il s'agit d'intégrer devient 



(w — a){x — /%" + [(m — r + 1 ) (,x — /i) + (in — s + 1) (^ - «)Jy' 



— (7U + l)(r + 5 — ?7i)y = (95), 



avec la condition essentielle 



r-]-s^m (96). 



Suivant le Théoreme 3 (§ 3), cette équation ne peut avoir quune seule intégrale 

 algébrique et entiere du degré r-{-s — m = n. Donc toutes les intégrales pai-ticuliéres, 

 finies et déterminées, que Ton peut obtenir par les formules du § précédent, quoique 

 diverses en apparence, sont au fond les mémes, comme étant toutes des fonctions 

 entiéres du degré r-\-s — m. La formule (75) donne cette intégrale particuliére 



y =Y)l{x^a)'\a^-li)' (97). 



Les autres formes de la méme intégrale s'obtiennent en faisant usage des formules de> 

 transformation (86). Ainsi on établit aisément les égalités suivantes: 



y, = r(r + s---m+l)D^\^ — cO>--/i')' = n''+l)C« — />')'~"d'(^-«)''^'~'"(^— /^r 

 = r(s -f-l) (a; — «) \) {x—a) {x—li) 



= r(m+l)(.7^— «)'"%— /^r'"D''^'~'"(^— «)'(•«— Z^)' ■ ■■■■ (98)- 



On doit observer que ces égalités cessent d'exister si Ton suppose r-];-s<m. 



L'autre intégrale particuliére peut toujours, comme on sait, étre proposée sbus 

 la forme 



y-^^y^i — :^-r^',^ .,—1 ~ ^^^)' 



11 est facile, cependant, d'en trouver une forme plus simple. Cela peut se faire en 

 partant de Tune quelconque des valeurs (98) de 3/1, et en considérant Téquation (95) 

 comme limite d'une autre dans laquelle un des nombres entiers m, r, s est remplacé par 

 une quantité qui en différe trés-peu. 



