INTEGRATION d'uNE ÉQUATION D IFFEREN TIELLE. 29 



En effet, considérons, au lien de Téqu. (95), celle qui en différe en ce que m y 

 est reraplacé par m-\~s, s étant une quantité positive trés-petite. Son intégrale générale 

 sera donc, suivant la formule (75), 



y ^ ^D; + ^U— «)'-(^-/5?)'^+ i>'D;|'(^- «)V-AO^ 



Donc 



) Lt — ({) (a' — p) — D 



y'(*)-^D;f(..-^«)>-^)'~D;7(.— «)^.--At (100) 



en est une intégrale particuliére, qui s'évanouit avec e. De méme, 



est une intégrale de cette équation, quelque petite que soit s. Donc, passant k la limite, 



y, = lim ^ - ^'(0) (101) 



sera une intégrale particuliére de Téquation limite (95). 



Pour calculer <f''(0), observons que, suivant la definition (5), 



D;t(--«)^(--^)^=7^D:+;j;I-.)-^(.-«)'-(.-/y)v., 



ce qui permet, en négligeant le facteur j^s^)> *^^ poser, suivant (100), 



dz , 



y(.)=-D;+]/c^-^) '(z-afiz-i^y 



et, par conséquent, 



y^ = -<p'(0) = p"^'^'Jl{.T-z) {z — ci)'\z~^[?fdz (102) 



a 



sera une intégrale particuliére de Téqu. (95). 



Cette intégrale peut évidemment étre réduite ä des fonctions algébriques et 

 logarithmiques, p. ex. en développant {z — ccY {z — l^)" suivant les puissances de x — z. 

 Une telle forme d'intégrale s'obtient du reste immédiatement en composant, des expres- 

 sions (98), cette autre forme pour y'(*): 



9'(*)=n^+i)(--«)'-"'"^DV-«)'"(.-/y)'+'-'"0^ 



- nr + 1) [.-i^f-"- D'■(.-«)'■+^-'"(.-/y)t-^;^^ 



Comme cette valeur (p{k) est nne intégrale de Téqu. (95), lorsqu'on y change m 

 en m-\-£, et de plus s'évanouit avec s lorsque r-{-s^m, une intégrale de Téqu. (95) 

 sera comme précédemment, en ayant égard aux relations (98), 



