30 HJ. HOLMGREN, 



3) jj 



— r{r-\-s — m-^\)l~-^ D"'{x—a)'Xx-~fiy (103), 



qui, eu vertu de (98), peut aussi étre réduite a la forme 



y-. =- r(r+s-™+ 1) r-^ DV-«)''(^-/i)^ 



^r-\-s — ni 



+ iXr+i)(.'-/^)^"'"iVir^n^)^,(r-v-r-^>^"(--«)^"^'">^ (104). 



L'intégrale générale de Téqu. (95) est maintenant, par suite des formules (97) 

 et (102), 



'3 



y^ A\)l{x—4{x—li)'Jr BY)l'^'^l{x-z){z~-4{z — (i)'dz (105), 



« 

 ou 



r -|- ■§ ^ "i- 



La seconde intégrale particuliére est de la forme 



5P(*) + V^(ar)./^, 



<p{x) et ip{x) étant des fonctions algébriques et rationelles. 



Pour « = — 1, /S'=:-(-l, 7n^^r = s=^n, Téquation (95) se réduit & 



{x' — l)y"-\-2xy'^n{n^l)y = Q (106), 



a laquelle satisfont les fonctions sphériques. La formule (105) donne en effet Tintégrale 

 générale 



y = AX)l{x'-lf + BY)l:^y{x-z){z''-lfdz (107). 



— 1 

 En vertu de la formule (104), on peut remplacer la seconde intégrale particuliére par 



y,^f+l Tf{x'-i)'' + 2 'iVl)'" "-^^^^:^^^^^:^±^(-^-.-^-\Yf-y-lf (108). 



8= 1 



5. ^' = — (m + l), /*"= — {in-\-r-\-\), fi' — a-\-l = n, (j! — 6 + 1 = — («+l) ©t n = r + s, 

 ä cause de la relation générale ^'-|-,a" = a-|-6 — 3. 



L'équation ä intégrer devient, en éliminant n, 



(x — a) (x--fi)y''—[(m^r-^s)(x — fi)-}-(vi--s--l)(x~~a)]y'-i^m{m.-^r)y^O... (109). 



