INTEGRATION :)'UNE ÉQUATION D I F FE R ENTI ELLE. 31 



Suivant le Théoréme 3 (§ 3), cette équation n'a quime seule intégrale algébrique 

 et entiére du degré m, dont les diverses expressions s'obtieniient par les formules du § 

 précédent et par les transformations (86). 



Pour trouver Tintégrale générale, nous nous servirons de la formule (83), qui 

 donne d'abord Tintégrale particuliére 



y,-^{x — a) -^ D^(m-«) (?^ — /?) (110), 



ou „ — « = ^^^^ (111). 



x—a ^ ' 



Par un procédé analogue ä celui que nous venons d'employer dans le cas 4, 

 on trouve facilement une autre intégrale particuliére. Considérons en effet, au lieu de 

 Téquation (109), celle qui en provient par le changement de s en s-|-e et en méme 

 temps de r en v — «. La formule (83), appliquée ä cette équation, donne Tintégrale 

 particuliére 



^(.) = -1X1 - ^) {.-4'^'-' (D;+;(.^■.)^+Y^.-/i)'"- d;+;'(u-co^+^(.-/?)'") , 



oa, en vertu de la formule (5)^ 



Ii 



Cette intégrale sevanouit avec s; donc 



./5 



y, = lim^ = V^'(0) = (^-«)'"^''D;+'J/(ii-^2)(^— «)''+'(^— /y)"'(Z2 (112) 



« 



est une intégrale de Féquation (109), et par conséquent Vintégrale générale en sera 



ou u^a=^lzfl ; (114). 



x—« ^ ' 



Si Ton veut éliminer m, on peut se servir de la formule générale de diffé- 

 rentiation *) 



D-:,.. F{x) = ^±^ D':(a,+b,4'"F(x) (115), 



qui conduit aisément ä la forme 



y = (^X~u) \ÄDJ,X — Ct) ^ ^ \x — [ll) 



+ B{x-~a)Yy';\.-a)'jl("^^Jrv)v-^\l-vfclv\ (116). 



') Voir: K. Vet. Akad. ITaiKllingar, Bd. 5, N:o 11, formule (72). 



