32 HJ. HOLMGREN, 



La seconde intégrale particuliére dans ces formules se réduit ä la forme 



<fix)^xp{x)-l{x — li), 



ou (p{x) et i/'(a;) sont des fonctions algébriques et rationelles. Cette forme, analogue 

 ä (103) ou (104), s'obtient aiissi en partant d'une combinaison de deux formes diverses 

 pour rintégrale (110), que fournissent les formules de transformation (86). 



6. jLi=m-\-r, ,u" — m, /u' — a-\-l — n, /u' — 6-1-1 = — (sH-l) ou n = r-{-f 



.s. 



Il s'agit donc de Tintégration de Téqu. 



(x — a)(a; — /i)z" + [(m — « + 1 ) {x - /?) + {ra + r + ,s -f- 2) (x — «)>' 



+ (m-hl) (m + r+l)^ = (117). 



En y appliquant la transformation (86) 



z = F^i,u, a, b) = (x~-ay"'(x-~/iy''"FJ-(u.^l), 2--ö, 2-h), 

 ou, ce qui revient au méme, en y substituant 



z = {x — cc) (x^/i) y (118), 



la transformée en y sera 



{x — a) {x — p)y" — [(m — 6— 1) {x—ii) -^ {m^r^s) {x— «)]y' 4- m(»; -|- r)y = 0. 



Or cette équation coincide avec Téqu. (109), quand on y permute a et /^; donc Tinté- 

 grale générale de Téquation (117) sera, en vertu des formules (118) et (113), 



, ^ {x-ar"\,c-lif''^'' [^D>-«)'"(z.-/i)'-+^ 



^B\f^'\l{u—z){z~af{z — [iy'^'dz\ -. (119), 



t-' 



pour u-i-i=^^ : ; (120), 



ou bien, suivant (116) 



/) 



, ^ (^_«)^-'"UD^(^-«)'''(a.-/?)-^" + '-+^> 



+ 7^(.-/y)D:+'(.-/^);f;(^:-.).^+^(l-«)'"d«| (121). 



o 



La seconde intégrale particuliére est de la forme 



(fix) -\- \p{x) •l{x — a), 

 'p{x) et ip{x) étant des fonctions algébriques et rationelles. 



