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donc, substituant ces expressions en (129), on aura 



— D"~\nB\ — (n-\-l),B:-\-{n + 2),B;)w = (130). 



Maintenant, par les valeurs (127), on obtient 



n5;~(n+l).,5;: + (n + 2)3S;;-n[;i(A + a + ft + l) + (,a + l)(a+6— ^— 2) 

 — (n+l)(2^ + a + 6) + (n+l)(n + 2)] = n(/l — n+/*)(A — ?^ + a + 6— ^— 3). 

 Gette constante devient nulle, si Ton prend p. ex. 



;i = ra — (a + 6— ^ — 3) (131), 



et Téqu. (130) se rédiiit alors ä 



B"{D%B,io)-^T)(B,--{n + 2\B:)iv + {B,-in-}-l)B:-^{n^2),Bdw} = 0, 



k laqnelle on peut satisfaire en prenant pour w une intégrale de Téquation 



D'XB,iv)-{-J){B2 — (n+2),B;)iv + {B—(n-\-l)B, + {n + 2%Bl)w^0, 



ou, en développant, 



B,w"-\-{B,—nB',)io''{'(B^ — nB',^"--^^-Bl)iv^O (132). 



Substituons les valenrs (127) en y posant, pour abréger, 



n — Å = a-\-b—M — 8^(} (133); 



nous aurons 



(x—ay-{x—f:^)io"-]-(x — a)[(a — 2p) {x—^)-\-{h — n)(x—a)]w' 



Enfin, substituant dans cette équ. 



w=^(x — a)", z (134), 



on obtiendra la transformée suivante en 2^: 



{x—tt){x — p)z^{a{x—(i)^{p — n){x—ci))z^{}.i-\-V){s — n-^\)z^^ (135), 



oii Q^a-\-h — jft — 3. 



La relation entré Tintégrale y de Téqu. (125) et z s'obtient par les formules (124), 

 (128) et (134), ä savoir: 



y=^\x — a) D \x — ayz^\x — «) D (x — et) z. 



Comparant entré elles les équations (123) et (135), nous arrivons donc au théo- 

 réme suivant: 



Théoréme 4. 



Entré les intégrales des équations 

 {x — a){x — [i)y" + {a{x — [i)-^h{x — a))y'-\-{,u-\-l){a-\-b—!ii — 2)y^0 (136) 



