INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 35 



et 



{x — a){x — li)z" + {a{x — ii)-\-{b—n){x~a))z'^{^.^\)^a^b~n — n — 2)z^0 (137), 



qui provient de la premiere par le changement de h en b — W, ti étant un nomhre entier 

 et positif quelconque, existe une relation telle, que S étant une intégrale de la seconde, 



y^{x — u) '^ >Bj^^—cc)^ z (138) 



sera une intégrale de la premiere. 



La relation entré Tintégrale de Téqu. (136) et celle de Téquation qui en résulte 

 par le cliangement de a en a — ?i, s'obtient évidemment de la formule (138) en y 

 changeant « en [i. De méme, il est evident que Ton peut remplacer partout ,« par 

 a-\-h — ,M — 3, puisque Téqu. (136) nen est pas changée. Donc, d'aprés la maniére de 

 designer les transformations de Téqu. (136) dont nous avons souvent fait usage, le 

 théoréme précédent équivaut ä la transformation 



F{,u,a,h) = {x~cc) D (x — a) F{,u,a,b — n) 



= (x—[i) '^ 'D{x—/^)^ F{,u,a — n,b) (139), 



oii Ton peut changer, si Ton veut, ,u en a-\-b — fi — 3, et au reste appliquer toutes 

 les transformations (86). Il faut, cependant, remarquer que cette formule de trans- 

 formation doit étre entendue dans le sens du théoréme. 



Par le théoréme que nous venons d'établir, on peut toujours faire dépendre 

 rintégration de Téqu. (136) ou (1) de celle d'une autre, relativement k laquelle les 

 parties reelles des deux expressions 



^' — a + 2 et ju' — b-\-2 

 deviennent >0, et ou par conséquent la formule (30) est appliquable. Les intégrales 

 qui en résultent pour Téqu. (136), deviennent cependant dans la plupart de cas plus 

 compliquées que celles données dans le § 4. 



Un autre théoréme, en quelque sorte complémentaire du précédent, s'en déduit 

 par le procédé suivant: 



Par la formule de transformation (65), on a 



F(iu, a, b) = {x-/iy~''F{^t-b-\-l, a, 2 — 6) = (a; — p')'"V(— (,a-a + 2), a, 2 — 6)... (140); 

 puis la formule (139) donne 



F{~{,u-a+2), a, 2 — 6) = (*— «)'~^"""*+"D^(.^— «)""*^'i^(— C«—a + 2), a, 2-b — n); 



ensuite, par le changement de h en b-\-n, il résulte de la formule (140) que 



F{—{ix-~a-^2), a, '2 — b — n) = (x — /^)'"^"~'F(^i, a, 6 + n); 

 donc nous aurons la formule de transformation 



F{,u,a,b)=^(x--a) '■ ^ '(^—f^) D (a;— «) ^ (x—/i) F{,u, a, b-\-n) 



= {x — /i) (x — a) D (x—t-l) (a; — «) F(,u, a-\-n, b) (141), 



