INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉ RENTIELLE. 37 



en prenant pour X une racine de Téqu. 



M^ + M + Z^o^o, 



pourvu toutefois que h^ et 62 ne soient pas nulles k la fois. 



Gette équation a été Tobjet cFun tres-grand nombre de mémoires. L'intégrale en 

 a été donnée le plus complétement par M. Spitzer*); plus tärd, M. Schlömilch **) en 

 a donné un exposé simplifié en partant de la "forme normale" 



indiquée par M. Weiler***), ä laquelle Téquation (145) peut toujours étre ramenée. 



Quoique il n'y ait ainsi peut-étre rien d'essentiel a ajouter quant ä Tintégra- 

 tion de cette équation, il y aura cependant quelque interét a comparer les intégrales 

 que fonrnit notre méthode ä celles auparavant données, qui en différent trés-souvent. 

 Nous aurons toujours soin de rejeter toutes les forraes qui impliquent quelque 

 restriction relativement å la variable indépendante, et nous ajouterons du reste, comme 

 dans le cas general, Texamen rigoureux sur la généralité des intégrales proposées. 



Supposons d'abord que ni 62 ni h^ ne soient = 0. L'équation (144) peut alors 

 s'écrire 



(*' — f%" + (p.« + g)y + ry -- O , 



ou 5 différe de zéro. Posons 



(146); 



,.=p(,u-fl)J 



Téquation se réduit ä la forme 



(^ — %" + [K^ — ^') + %'+K,"+% = (147), 



ou nous supposons que j) n'est pas nul. Dans tout ce qui va suivre, on peut, du reste, 

 considérer ä volonté les constantes «, "p, s et /u comme reelles ou imaginaires, en ayant 

 soin, lorsqu'on les considére comme imaginaires, de rapporter les signes d'inégalité 

 > et < aux parties reelles. 



Appliquons maintenant k cette équation le Théoreme 2 (§ 1). L'équation de 

 condition (22) ayant ,« pour seule racine, il suit que 



y^^x.o^f i^—") - (148) 



est une intégrale particuliére, si Ton sait déterminer Xq de sorte que la fonction 



M = 7^ e^'-{x-^ur'^' (149) 



s'annule pour x^^^x,,, en restant de plus finie et continue de Xo ä x. 



Lorsque f-i est un nombre entier et positif ou zéro, la valeur de r(^ — /li — 1) est 

 infinie, ce qui entraine f{x) == O indépendamment de x. Alors Xo est arbitraire, et 

 Texpression (148) devient une dérivée ordinaire. 



*) Studien iiber die Integration linearer Differential-Gleichungen von S. Spitzek. VVien 1860. 

 ") Compeudium der höheren Analysis von Dr. O. Schlömilch. Zweite Aufl. Braunscliweig 1866. 

 *") Crelles Journal, Bd. 51. 



