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La condition relativement k f{x) est aussi satisfaite indépendamment de x, lorsque 

 ^ = — 1, et par conséqnent x» devient arbitraire. La formule (148) fournit en effet 

 dans ce cas Tintégrale générale 



y^CD^' e^^^^ix—a)-' --=cL^^''ix—a)~"dx^cL'"^\x — a)~'dx-^C, (150) 



^' ^0 J J 



OOn 



de réquation (147) pour ^ = — 1. 



Lorsque ,m — s-(-2>0, f{x) s'annule pour .« = «, et la foi-mule (184) donne une 

 intégrale particuliére linie et déterminée pour x^^=ci. On pourrait en obtenir une 

 autre, en prenant pour Xi^ la valeur infinie de x qui rend ^^''■' = 0; or cette intégrale 

 changerait sa limite inférieure, le signe de x venant ä changer, et serait du reste en 

 défaut pour des valeurs imaginaires de la forme x=--yi {i étant Tunité imaginaire). 

 Nous devons donc la rejeter. 



^ Si, au contraire, ,a — s-hS^O, on n'obtient directement par la formule (148) aucune 

 intégrale valable pour une valeur quelconque de x. Néanmoins, Tintégrale générale 

 s'obtient sans difficulté par cette formule dans tous les cas possibles, en ayant recours 

 aux trois transformations suivantes. 



1. Substituant, dans Téquation 



(.^-%" + [i5(*'-«) + %'+Z>C« + l)3/ = (151), 



y^{x — a) z, 

 nous aurons la transformee 



{x — ci)z" -\-[p{x — «) + 2 — s\z' +p(," — s-\-i)z^O. 



En désignant par 'f{l^,s,iy) Tintégrale générale de Téquation (151), on peut exprimer, 

 plus commodéraent cette transformation par la formule 



y?(,w, s,p) = (« — e;)'"'y(,a — s+1,2 — s,p) (152). 



2. Par la substitution en (151) de 



y--^e z, 

 on arrive ä la transformee 



{x — «)^"H- [ — ]){x — «)-|-s]2' — ]){s — /i — l)z = 0, 



ce qui équivaut ä la transformation 



(fi^i,s,p)^e'^''(p{— {,11 — ^^2), s,—p) (153). 



Par la combinaison des deux transformations (152) et (153), on obtient 



9^(,«, s,jj) = e^^''(« — «)'"V(— C" + l)'2 — s, — ij) (154). 



3. Substituant, dans Téquation (151), 



y = D z, 



