INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFF É R ENT IE L L E. 39 



ou m est un nombre entier et positif, on obtient d'abord 



, Cf^«)D"'"^'^ + [M'^— «) + s]D"'+'2+p(,a+l)D%-0 (155). 



Or, en vertu de la formule (8), on a 



[x — of)D z = D {x — cc)z — {m-\-2)\y z 



[jo(^-«) + «] D™+'^--=D'"+'09Cr — «) + s> — 2j(m + l)D'''^; 

 donc Téquation (155) se réduit å 



D" \D^(,2; — tt)z 4- D(p(« — «) + « — m — 2)^ -\-'p{^i — i')i)z\ = O , 

 ä laquelle on peut satisfaire par Tintégrale de Téquation 



D {x — ci)zAr^{'p{x — «) + « — m — 2)2-)-p(;a — ?7i)2 = 0, 

 ou, en développant, 



{x — ci)z -\-{'p{x — ':i)-\-s — ■)-i%)z -\- ji^lJ. — m-\- l)^ = 0. 

 Chaque intégrale de cette équation fournit par conséquent une intégrale 



y = D z 

 ä réquation (151), ce qui peut s'exprimer par la formule de transformation 



^(w, s,f) = D (p{iLi—^m, s — w.,p) (156). 



Il faut remarquer, cependant, quil arrive, dans certains cas, que le second membre 

 de cette formule ne peut représenter qu'une intégrale particuliére de Téquation (151). 

 Nous allons montrer maintenant, qu'a Taide de ces trois transformations, la for- 

 mule (148) suffit pour donner Tintégrale générale de Téquation (147) dans la plupart 

 des cas. Il en faut distinguer 4. 



1. Cas de ,w + 1 > O, /< — s + 2 > 0. 

 Une intégrale particuliére donnée directement par la formule (148) pour a;,) = « est 



La transformation (152) ä Taide de la formule (148), fournit cette autre 



y, = {x^cc) Y)^^^ e {x~cc) ■ 



donc, supposé que le rapport de ces deux expressions ne soit pas une constante, question 

 que nous examinerons plus tärd, Tintégrale générale de Téqu. (147) sera 



y^ÄD e (x — a) ^ -|--B(.r — «) D e (x — ay (157). 



Ajoutons que cette formule subsiste encore lorsque Tune ou Tautre des quantités 

 ,w et ,M — s-|-l est un nombre entier positif ou zéro, quelles que soient les valeurs des 

 autres quantités. 



