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T ^ t f(^) ■ > 



Le seul cas ou le rapport — - pourrait etre constant, est par consequent lorsque 



p — /I est un nombre entier positif, négatif ou zéro. Pour p — A = 0, la formule (164) 



donne —— = 1. Cest en eftet, suivant (161), le cas de (p{x)^yj{x) ou -y- = 1. Mais 



si Q — /i, tout en étant un entier, différe de zéro, la formule (164) laisse indéterminée 



la valeur de -— et na décide rien quant au rapport — . Nous allons prouver que 



ce rapport est alors réellement une constante. 



En effet, supposons que pour une certaine valeur de p (p. ex. ? ^= '^) la relation 



Ji\,/%^-ar=f{X,o).{w.-ay-'-J)l^/Xa,-ay- (165), 



oii f{X, q) désigne une certaine constante, a lieu, nous démontrerons qu'elle sera vraie 

 aussi quand on y remplace Q pour Q-\-l. A cet effet, différentions la formule par 

 rapport ä x, puis multiplions par x — «; il résulte 



(..-«) Ji^y{w-ay =f{X, Q) {{x - ay^'-'- T)[^y(a: - ay- + (p - ^) (^ - a)"-'- D^ ,/^(x - af]. 



De cette équation, rétranchant Téqu. (165) multipliée par Q — /, on aura 



{x - a) D',■*;>G^• - ay - (q - /I) D^, J-(x-uy =/{?., q) {x - ay^'''- D^^^^^s - ay ... (166), 



Or d'aprés la formule (8) on trouve 

 {x-a)J)[ 

 puis, par la formule (9), 



(a- - a) D^^^le^^x - ay = T)''^le''%x - «)« +* - (>? + 1) D^*^(.r - «)' , 



<'-^\xu., ^^.H■1 T.^- n^.w,. ..,v. + n , (--«)"^''"'^ 



D.,„«^%*-«)^^' =D^:,„D(.^%.-«)<-^) + ^--^ lim {e'%x-ay-')^^^^ 



n-i) 



i 



= D,, ,J){e'%x - ay-^') = m;, ,/%c - a^' + (p + 1) D,_ ^/%x - ay ; 

 d'ou 



(x - a) J)','^le''Xx-ay = ^D.', ^/%x - ay^' + (^-Å) B^ „e^-(^- «)". 



Substituant ce resultat dans le premier membre de (166), nous aurons 



J)i,/%v-ay^'=^;:^ (x-ay^'-'- Bl'^!;e%v-ay (167) 



Si Ton pose 



^ =M P + l) (168), 



la formule précédente n'est que la formule (165) apres y avoir remplace ^ par (J-j-L 

 Or de (168) résulte 



/(;.,, o) = a-^ 



ou c est indépendant de p; et comme la formule (165) exige que pour p = ^ 



/(^,p)=M^) = i> 



il s'ensuit que C=^k'-, et par consequent 



