INTBGEATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉ RENTIELLE. 43 



Concluons donc que si la formule 



D',„c^t^-«)" = i^-^'(*-«)<"-'-Dl,/%r-«)^ (169) 



a lieu pour une certaine valeur p' de p, elle sera vraie aussi pour p = (>'-|-l- Or comme 

 cette formule devient une identité pour p = >^, elle est vraie aussi pour 



p = 2+ 1, X + '2 , 



ou en general quand Q — ^ est un nombre entier et positif ou zéro. De plus, la formule 

 ne change pas en y permutant p et A; elle subsiste donc encore quand Q — /I est un 

 entier négatif. 



Tout ä rheure nous avons démontré que le rapport — ■ des deux fonctions (161) 



ne peut pas étre constant quand Q — /I n'est pas un entier. Il s'ensuit donc que le 

 seul cas dans lequel ce rapport est une constante, c'est lorsque 



Q — A est un entier positif, négatif ou zéro. 



Revenons maintenant aux 4 formules (157) — (160) qui donnent Tintégrale de 

 réquation (147); nous voyons immédiatement que toutes ne donnent qu'une intégrale 

 particuliére lorsque s est un nombre entier positif, négatif ou zéro. 



Lorsque au contraire s n'est pas un entier, les formules (157) et (158) fournissent 

 toujours rintégrale générale. Quant aux formules (159) et (160), il reste encore ä 

 examiner si un rapport de la forme 



^^I^^ (170) 



oii <f'{os) et !/'(*') désignent les mémes fonctions qu'en (161), peut se réduire ä une 

 constante méme lorsque Q — A n'est pas un entier. Cela revient au méme que d'exa- 

 miner si Téquation 



^D"'e-'"y (.'(,•) + 5D'"e-*X*-) = O 

 ou Téquivalente 



7 = m — 1 



Å(p{a:) + B^j{w) = e''" Z C\(a:.-ay (170') 



est possible en choisissant convenablement les constantes A, B et les d. 

 Or, remarquant qu'en vertu de la formule (157) 



est une intégrale de Téquation 



(a'-a)f + [-k(w-a) + Å-^ + l]^' -k(Å + iyj = (171), 



et méme Tintégrale générale toutes les fois que Å — p n'est pas un entier, on voit qu'il 

 s'agit de trouver les conditions pour que cette équation ait une intégrale de la forme 



y = e*^ J^C;(/j;-«)' (172), 



qui différe de zéro. 



Substituant d'abord en (171) 



