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la trausformée en z sera 



{x-aY + \k{a;-a)^l-Q^\\z -kQz = ^ (173), 



et la question est réduite a trouver les conditions qui expriment que cette équation 

 a une intégrale algébrique et entiére 



z = ZClx-ay (174) 



différente de zéro. A cet effet, substituons la valeur de z en (173), il vient, en ordon- 

 nant suivant les puissances de x — a, 



'Zi{U^ - Q) C^x - o;)'-^ + /c 'Z(i - (}) C^x - a)' = 0. 



Pour satisfaire k cette condition, quelle que soit x, il faut poser d'abord 



(r-e) c;.=o (175), 



puis 



(i+l)(i+^-p + \)C\,, + k(i-^)C, = (176) 



depuis {=0 jusqu'ä i^r — 1. 



Puisqu'il faut supposer C^^O, la condition (175) exige que 



p = r, 

 apres quoi la relation (176) est toujours satisfaite par la valeur 



^, _ (i + l)(i + 2) . . . r . jl + i-r + l) (l + i-r + 2) ...I 



k"—' 1.2. 3.. (v— O ' 



oii Cr reste arbitraire. 



Donc, afin que Téquation (173) ait une intégrale algébrique et entiére du degré 

 r, il faut et il suffit que p = r. Or il en résulte nécessairement que Ton peut satisfaire 

 a réquation (170') toutes les fois que p est un entier positif (ou zéro) inférieur ä m, 

 et par conséquent, c'est alors seulement que le rapport en (170) se réduit ä une con- 

 stante, méme lorsque p — ^ n'est pas un entier. 



Appliquant ce resultat aux formules (159) et (160), on trouve qu'elles ne donnent 

 qu'une intégrale particuliére, la preiniére lorsque /U' est un entier positif ou zéro, et la 

 seconde lorsque ,u — s-j-1 a une telle valeur. Pour ces cas on a cependant recours ä 

 la formule (157), qui fournit alors Tintégrale générale pourvu que s ne soit pas un 

 nombre entier. 



Par conséquent, le seul cas qu'il nous reste ä traiter, est celui ou s est un nombre 

 entier positif, négatif ou zéro. Les deux intégrales particuliéres dans chacune des 4 

 formules (157) — (160) se confondent alors en une seule, mais on peut toujours en 

 obtenir Tautre intégrale par un passage ä la limite, procédé duquel nous avons sou- 

 vent fait usage. Cependant les formes de cette intégrale que Ton trouverait ainsi di- 

 rectement par les formules générales ne manqueraient pas d'étre assez compliquées. 

 Elles se simplifient en partant de Téquation particuliére 



(x-a)f + \k(x-a) + l-sy + k(Å + l)t/ = (177), 



011 f-. désigne une quantité trés-petite et 0>^> — 1. 



