INTEGRATION ])'UNE ÉQUATION DIF PÉ RENTIELLE. 45 



En vertu de la formule (157), cette équation a pour intégrale particuliére 



y = B^ ..e-^v - af^^ - (.t - ay d','"„V^X^' - «)' , 

 qn'on peut remplacer, en vertu de la definition (5), par 



= C--'^X^-z)-^>-+'\z-c(y{(z-ay-h^]\dz (178). 



(C 



Cette intégrale s'évanouit avec s. Or -^ est aussi une intégrale de Téqu. (177) 

 quelque petite que soit «; donc, passant å la limite, 



y ^ lim ^ = cpXO) = C-^%x - .)-'^+^(.- - ay I '" -"l^^- ^ dz 



tt 



-!"'Ce-K^-^'>it\l-u)-0-+i)l^u(l-u)(a--cc)]du (179) 



■ e 



o 



sera une intégrale particuliére de Téquation limite 



(..-«)/ + [A<..-«)+lV + (i+% = O (180), 



pourvu que 0>Ä> — 1. 



La formule (157) fournit Vautre intégrale particuliére de cette équation, dont 

 rintégrale générale est par conséquent 



y = AbI^ ,,e-%v - ay + bC-^^^ - z)-^^-*'' (z - ay l^^^^^^dz (181), 



Ii 



ou Ton suppose O > -< > — 1 ; car on peut facilement s'assurer que le rapport des deux 

 integral es n'est pas constant. 



Pour ^ = — 1, rintégrale générale de Téqu. (180) est 



f — kx 



^ = ^ + ^b^'^^ (182), 



et pour i =^ O 



/ kx 



.y = 6-^-(.4 +5 --c/.r) (183). 



Maintenant on peut toujours faire dépéndre Tintégration de Téquation 



{x-a)rj" + \p{A'-a) + s\y' + p{iLi + \)y = Q (184) 



de celle d'une autre dans laquelle ,« et .s sont remplacées par +^ — m et s + n, m et n 

 dcsignant des nombres entiers et positifs quelconques. Cela permet évidemment de 

 ramener Téquation (184), lorsque s est un entier, k une équation de la forme (180). 

 On y arrive par les transformations suivantes. 



