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La formule (156) donne directement 



y = (p{/ii,s,p)=='D^(f{^-m,s-m,p) (185), 



et les formules (154) et (156) successivement employées, 



y =- (fiiLi, s, p) = e-^^(A--«)^-^ (f(- (,a+ 1), 2 - s, -jj) 



= e-^%T-ay-'T)^ (p(-^u-m,3-s-m,-p) (186), 



VI étant un nombre entier et positif quelconque. 



Par Tune ou Tautre de ces formules, la transformée de Téquation (184) obtiendra 

 la forme 



(w-a)z" + \p,(a;-a) + s,]z' + (Z+l)z = (187), 



équation dans laquelle la quantité Å sera comprise entré O et — 1, et Si différera de s 

 d'un nombre entier. 



Puis pour transformer une équation de la forme (184) en une autre qui n'en 

 différe qu'en ce que la quantité s j est diminuée ou augraentée d'un nombre entier v, 

 on a, par les formules (153) et (156), la transformation 



y = (f(,u, s, p) r= e-P'(f(- (,« - Ä+2), s, -p) = e"''^ '^lf{- {M - s + 2+7i), s - n, -p) 



= e-^^J)yy{fi, s-n,p) (188), 



ainsi que par les formules (152) et (156) cette autre formule de transformation 

 y=(p{fx, s,p) = (a-~Ciy-'(p(jU-s + l, 2-s,p>) = (*• - «)!-* D^y(,M -s -m + 1, 2 -s- n,pj) 



= {x-ccy-'-Dl{x-ccY+'-^<fijLi,s^n,p) (189). 



Il est evident que par ces transformations, qui n'impliquent d'autres operations 

 que des multiplications et des différentiations ä indices entiers et positifs, on peut 

 toujours ramener Tintégration de Téquation (184) k celle d'une autre équation dans 

 laquelle /t et s se trouvent comprises entré deux nombres entiers successifs quelconques. 

 Par conséquent, lorsque s est un entier positif, négatif ou zéro, oas dans lequel les 

 formules générales (157) — (160) n'ont donné qu'une seule intégrale particuliére, on peut 

 toujours en former une autre par des multiplications et des différentiations å indices 

 entiers et positifs portant sur certaines intégrales d'une équation de la forme (180), 

 c.-a.-d. sur Tintégrale multipliée par B dans la formule (181), lorsque jn n'est pas un 

 entier. Lorsque au contraire /n est iin entier, on se sert de Tune ou Tautre des formules 

 (182) et (183). 



A la fin nous allons établir un théoréme, analogue au Théoreme 4 du § 6, qui 

 aux transformations précédentes en ajoutera une nouvelle de méme espéce, exprimant 

 une nouvelle propriété des fonctions qui servent å intégrer Téquation 



{x-cc)y" + [p{x-a) + s]y' +p{/Li+l)y=Q (190). 



A cet effet, substituons d'abord 



y = {x-aT-^'v (191), 



