INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 47 



ou m est un nombre entier et positif; la transformée en v sera 



{x—afv" + {x—a) [j)(.r — «) + s + 2;?i — 2h]i'' + \^p{m+\) (x — a) + (m — ii) (m—^u + s— l)]u = 0. 

 Ensuite, posons dans cette équation 



m 



«^ = D,i« .. (192); 



en faisant usage de la formule (8), on a 



(x-af D"'+^iy = jy"-'Xx-ci)-w - 2(m+2) J)"'+\x-a)w + (m+l) (m + 2) I)"'w 



(x - a) [p(>c - a) + s + 2m - 2«] D"'+'t« = D^+X'» - «) b(*' - C{)+s + 2m - 2,a]iy 



— (m + l) D'"l2p(x-a)+s+2m — 2julio + pm(m+l) D'""'^^ 



\p(m + l)(x-a) + (??i-|a) (??z-,« + s- 1)]D"'?« = D"'[p(w, + l) (.« — «) + (m—ju)(m—jU+å—l)\iv 



— pm(m+l) 'D™~^w, 

 ce qui réduit Téquation en m; å la forme 



D"'{D-(a' - «)-!« + I>(x-a) \p(x — a) + s-2^u-4t]w + [-p(m+l) (x — a) + (,w + l) (f-i — s + 2)\iD] = 0. 

 On peut satisfaire ä cette équation en prenant pour iv Tintégrale de Téquation 

 I)'\x-a)-iv + D(x — a) j jd(a' — «)+s-2,a-4]zo + [— p(m+l) (x — a) + (,a + l) (f.i-s+2)\w = 0, 

 ou, en développant, 



(x — a)'\o" + (x — a) \p(x— a) + s — 2iu\w' + [— p(m — 1) (.v — a) +,a(/t — s + 1) |?y = 0. 



Enfin, substituons dans cette équation 



ic^(x-ay'z (193), 



réquation en z prendra la forme 



(x-a)3" + \p(x-a) + s\z' +p(jLi-m + l)z=--,0 (194). 



La relation entré Tintégrale z de cette équation et une intégrale de Téqu. (19o) est, 

 suivant les formules (191), (192) et (193), 



y = (x-ay'-''I),(x-a)^z (195), 



ce qui conduit au théoréme suivant. 



Théoréme 6. Une intégrale de Véquation 



(x - cc)f + \p(x - «) + s]y + p(fi + l)j/ = O 

 sera toiijours 



m 



tj = (x-ay'-''-D,(x-a)'^z, 

 quand Z est une intégrale de Véquation 



(x — a)z" + \^p(x — a)+s\z'+p(jj, — m+\)z = 0. 

 Ce théoréme équivaut a la formule de transformation 



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(p(lu,s,p)^(x-ay^-^'-J)^(x-a)'^(p(fi-vi,s,p) ;. (196). 



