INTEGRATION d'uNE EQUATION D IFF ÉRENTIE LLE. 49 



en 



(u - a)z" + [2Å(u - a) + 2s - Ijc' + 2A(« -i)s = O (200), 



oii la quantité i peut étre prise ä volonté. 



Quoique Tintégrale de Téquation (198) puisse donc toujours étre proposée au 

 moyen des formules du § précédent, il sera cependant intéressant de la cliercher 

 immédiatement par les théorémes généraux du § 1, qui la donnent sans Tintermédiaire 

 de nonvelles variables. Par le Théoreme 1, nous savons en effet que 



y = K.„~ (201) 



est une intégrale de Téquation (198), si Ton prend pour z une intégrale de Téqu. 



'D%x-a)z + {s-iLi-2)I>z+rz = (i 



ou {w-a)z" + {s - iii)z + rz = Q (202), 



et si Ton sait déterminer les constantes ,w et x^, de sorte que pour a'^äo 



(,r - a)z = O 



1 



n-fi-\) 



et 1 



(203), 



expressions qui doivent de plus rester finies et continues de Xo ä x. 

 Pour satisfaire a ces conditions, substituons en (202) 



le premier membre de Téquation se réduit ä 



^lY^^' \ T+\K' + /J (s -^ - i) j ; 



or cette expression s'annule en prenant 



donc, si Ton accepte la valeur /f = s — i, Tintégrale de Téqu. (202) sera 



Cl et Cä désignant des constantes arbitraires. On doit maintenant déterminer ces con- 

 stantes, ainsi que la constante Xo, de telle sorte que les conditions (203) soient satisfaites, 

 ce qui arrive évidemment pour a,' = A'o — « et Ci = — d^^l. Donc, substituant ces 

 valeurs en (201), il suit que 



ou bien 



y^ = d'~ ' Sin 2 YK^ - «) (204), 



est une intégrale particuliére de Téquation 



(.r-a)f + st/+r>/ = (205). 



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