INTEGRATION d'uNE EQUATION DIFFÉ R EN T IEL LE. 51 



Cette relation ayant lieu quand s<A, nous prouverons qu'elle est vraie aussi pour une 

 valeur quelconque de s. Il suftit évidemmeiit pour cela de démontrer qu'elle subsiste 

 encore pour s = Si-|-l, si elle est vraie pour s^Si. 

 Observons d'abord que, suivant la formule (9), 



D.,„ Sin2Yr<.r-«)=.D,.,D.,Sin2A/ 4r-«)=Yr D,,, „ — ^^ (-211); 



\ x—tt 



nous avons donc 



(.-«rD::fsin2rn^^^^ = r^(-«rD:-f^l^^ (212). 



' y x—a 



Or, suivant la formule (8), on a 



^^_^^j^.-,Cos2Y^^j^,-,^^^-^^^^2^^;^^^ (213), 



Vx-K Va; — «• 



et, en vertu de la formule (9), on peut poser 



D'"* (V^ - « Cos 2 ^r[x~a)) = D'^7*D(Y.r-« Cos 2 V"r(,r-«)) 



= P^, „ -=z_ v ^- Dx, « Sin 2 Y r(a!-a). 



y X — et 



Donc, substituant ce resultat en (213) et faisant ensuite usage de la formule 

 (211), il viendra 



(x - a) D,, ; ' = (1 - s) D,,_ ^ -A— - Yr D,, „" Sin 2 Yr(x - a) 



y X — et y X — (i 



= ' ~ ' J)l~^ Sin 2 YH^-cc) - Yr K'! Sin 2 YH^ - «!. ' 



yr' 



Enfin, substituant cette valeur en (212), nous aurons Téchelle de relation 



(x - ay T>1'^^' Sin 2 Yr(.v-c<) = (\ - s) {x- ccy' D'",; Sin 2 A^r(ar-«) 



- r(x - ay-' dI/; Sin 2 Yr(a! - k) (214). 



Supposons maintenant que la formule (210) ait lieu pour éf et s — 1, la formule 

 précédente donne alors pour x = ci 



lim (.T - ay D. „ Sm 2 Y r(a;-a) = (1 - s) — — = —. 



^ ' "■'^ ^ ^ ' ^ > r{2-s) r{\-$) 



Cest précisement la formule (210) lorsqu'on y change s en s-|-l. Nous avons donc 

 démontré que, si cette formule a lieu pour s et s — 1, elle subsistera encore pour s-j-1. 

 Or elle est vraie pour ö<A; elle a donc lieu généralement. 



Cela étant, rempla^ons en (210) s par 2 — s; il résulte, pour « = «, 



[\m (x-ay-^Bl;^^ Sin 2 Yrö>^^) = ip(cc) = ^^^^^ (215). 



Par les deux formules (210) et (215), nous aurons enfin, pour x=^cc, 



,.^^(.--rW)^_n£L (216). 



