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Concluons donc que lorsque s n'est pas un entier, le rapport — ne peut pas 

 étre constant; car ce rapport serait alors nul pour a; = « toutes les fois que s<l, et 

 infini pour .s>l, tanclis que, pour a;5«, — — n'est ni nul ni infini. Mais si au contraire 



s est un entier, la relation (216) laisse indéterminé le rapport — , excepté pour .5==^!, 



cas dans lequel on a en effet -— = 1. 



Il reste donc ä examiner si le rapport -— peut étre constant pour d'autres 

 valeurs entiéres de s. A cet effet, supposons qu'une relation de la forme 



ou D^;* Sin 2 V»<.^ - a) =f(s) (a: - «)'-^ D^"' Sin 2 A^r(.c-«) (217), 



ou f{s) est une constante, ait lieu pour une certaine valeur s = 6'i; nous allons démontrer 

 qu'en déterminant convenablement /(s), elle subsistera encore pour s=Si-f-l. 

 Différentions pour cela la formule (217) par rapport å x; il vient 



D'J,; Sin 2 Vr(A' - a) =/(«) {x - ccy{{\ - s) D^~' Sin 2 YKx - a) + {x - a) D^^_7 Sin 2 YH^i^ - «) } (218). 

 Or, d'aprés les formules (8) et (9), on a 



(x - cc) bI J Sin 2 Yr(x - a) = T>1 „" (x - cc) Sin 2 Vr(.r-«) + (s - 4) D^ ,' Sin 2 y r(x-a) 



= D^^ „ [Sin 2 Yr(x - «) + Yr(a- - a) Cos 2 Yr{x - «)] + («-§) ^I, „ Sin 2 Y''G« - «) ; 



donc, substituant ce resultat en (218) et appliquant de nouveau la formule (9), on 

 aura enfin 



dI^J Sin 2 Yr(x - ce) =f(s) (x - k)~' I>1 „ \_Yr(x - a) Cos 2 Yr(x - a) - i Sin 2 YK^ - «)] 



= - rf(s) (x - a)-' !>:'„ Sin 2 YHx - cc) (219). 



Si Ton détermine maintenant f(s) par la condition 



la formule (219) coincidera avec la formule (217) apres que Ton j aura remplacé s 

 par s-|-l. De la relation précédente résulte 



f(s) = C.(-ry, 



oii la constante C doit étre déterminée par la condition que/(s) = l pour s = l, comme 

 Texige la formule (217), de sorte qu'il faut prendre 



f(s)^(-ry-\ 



Donc, nous avons démontré que si la relation 



^ n^^ 



I>'~;:Sm2Yr(^-c()-=(-ry-'(x-c(y-'Dl,lSm2Yr('i!-a) (220) 



a lieu pour une certaine valeur ä' = Si, elle sera vraie aussi pour s = Si-|-l. Or elle 

 nest qu'une identité pour s = \; elle subsiste donc tant que s sera un entier ^ 1. 



