INTEGRATION d'uNE ÉQUATION D IFFÉ RENTIELLE. 53 



Remarquant de plus que la formule (220) n'est pas changée lorsqu'on y remplace s 

 par 2 — s, on voit qu'elle subsiste encore quand s est un entier ^0. Gette relation a 

 donc lieu toutes les fois que s est un nombre entier, positif, négatif ou zéro. 



Revenant maintenant k la formule (208), nous avons prouvé qu'elle présente 

 rintégrale générale de Téquation (198), pourvu que .s ne soit pas un nombre entier. 

 Alors, en effet, les deux intégrales particuliéres se confondent en une seule. Il reste 

 donc ä compléter Tintégrale dans ces cas, dont nous distinguerons ceux de s=l-{-n 

 et de s = l — n, n étant un nombre entier et positif ou zéro. 



Pour intégrer d'abord Téquation 



{x - a)n" + (n+l)/ + ry = (i (221), 



posons 



y = D% (222); 



en observant que, suivant la formule (8), 



(.i'-«)D z = D (,i;-«)«-(n + 2)D z, 

 la transformée en z sera 



d"{(«-«>" + s'+>-ä} = *^' 

 ä laquelle on peut satisfaire par Tintégrale de Téqu. 



(x~a)z" + z'+rz = Q (223). 



La formule (208) ne donnant qu'une intégrale particuliére de cette équation, nous 

 la considérons comme limite de cette autre 



{cc-a)z" + {\-s)z' + rz = (i (224), 



oii « désigne une quantité positive trés-petite; son intégrale générale sera, suivant (208), 



z = ädI~', Sin 2 Yr{x-ci) + B{w - a)' D^_7 Sin 2 Yr{x-tt) 

 ou aussi, d'aprés la formule (211), 



-i-£ Cos 2 Ynix-«) -r.-i+^' Cos 2 V"r(a;-K) 



Z 





Yx-a ' x,a Y[x-a) 



En vertu de la definition (5), Texpression 



v X 



[. + t Cos 2 Y")-;3— «) \s A- ,_^-_£ Cos 2 "V^f(z— «) 



/ X T/ ,_,i.+t Cos 2 Y"r;3-«) r 



(f(s) = j (.T -z) '-^ — Y^~ '^~ " ^^ " "^ ^•''' " "^ 



(C a 



= n-^^^^^L-zy-r-^'\%iz 



Y^^ 



dz 



