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est donc aussi luie intégrale de réquatioii (224), ainsi que — , quelque petite que 

 soit é. Donc, k la limite, 



V'(0 ,^«, r j{^—'-)' Cos 2 "V^j-(z — rr) , /",. , ,, ,.,, Cos 2 V r(a; — «)m , /^,^,x 



, = I„„^ = 5P'(0)= /^-— •-:===^<i.= /|>-«)(l-«/| ^=i=^a!«.. (225) 



^/ x « V(z — (r)(x — 3) ^ V m{1 — K) 



O 



est une intégrale de Téquation limite (223), dont Tintégrale générale est par consé- 

 quent trouvée ; car on s'assure facilement que le rapport de Tintégrale (225) a celle 

 que fournit la formule (208) n'est pas constant. En vertu de la formule (222), lin- 

 tégrale générale de Téquation (221) est maintenant 



1 1 



y-Dj^l ; ' du + B J.[( a: - a) (I - u)' ] -— du \ (226). 



■ I J Yu(l-n) J Yu[[-u) ) 



O o 



L'intégration de Téquation 



{a;-a)y" + (1 - n};/ + ri/ = O (227) 



est ramenée ä celle de Téqu. (221) par la substitntion 



3/ = (.,;-«)". (228), 



qui conduit k la transformée 



(x-a)z" + (n + -[y + rz = (229), 



dont rintégrale générale est donnée par la formule (226). 



On voit, du reste, qu'en désignant par y(s) Tintégrale générale de Téquation 



(^ - a)f + sy' + vy = O '. (230), 



les deux substitutions (206) et (222) conduisent aux formules de transformation- 



(f(s) = {X - «)'-^ (p{2 - s) (231) 



et (p{s) = I)lcf(.s - n) (232), 



au moyen desquelles on peut toujours faire dépendre Tintégration de Féquation (230) 

 de celle d'une autre équation dans laquelle la quantité correspondant k s sera com- 

 prise entré deux nombres entiers successifs quelconques. 



§ 9. 



Cas de c,=k=o, mais f\%0. 



L'équation (1) peut alors se mettre sous la foruie 



y" + (pa;^q)y' + p(f^.+ l)y = (233). 



Par rintroduction d'une nouvelle variable indépendante u, liée ä x par Téquation 



2p% = (pä; + qy (234), 



doii y'^ = Y2u.y'^ 



