INTEGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFERBNTIELLE. 55 



on obtient Téquation transformée 



ny"+{pu+\}ij+p.^y = Q (235), 



dont rintégrale est donnée § 7. 



On peut toujours ramener Téqu. (233) ä tine antre dans laquelle la quantité 

 correspondant ä /« est comprise entré deux nombres entiers et successifs qnelconques. 



En effet, par la substitution en (233) de 



(px + q)- 



;j = e 2p . s, 

 on arrive ä la transformée en z 



z" - (p,v + q)z' +pfiz = 0, 



ce qui s'exprime, en désignant par ^'{^■■,2i,q) Tintégrale générale de Téquation (233), 

 par la formule de transformation 



^(/U, p, <]) = e- —9^ (f(- (fl + l), ~p, -q) (236). 



De plus, si Ton substitue en (233) 



n 



y = 'Dz, 



et que Ton observe que 

 Téquation transformée sera 



n + 1 n + 1 n 



ipx + q)!) 2=D (px+q)z— p{n+\)'D z. 



d"(s" + {px + q)z' +p{jil-n+\)z) = O, 



ce qui fournit la formule de transformation 



(f(iU,p,q) = 'D^<p(/U,-n,p,q) (237). 



Maintenant, si nous supposons que 



0>^>-l, 



rintégrale générale de Téquation (235) sera, suivant la formule (157), 



.!/ = -•'I^T'"''" «' + ^ A^« Ko'~'" ""^ (238), 



ou, en vertu de la definition (5) pour ??i = 0, 



y = AYufe-'"'"v^-(l-v)~'^dv + Bfe-'""'v~^{]-vy(^-^'^dv [. (239). 



'o - o 



L'intégrale générale de Téquation (233) est donc, en substituant la valeur (234) de u 

 et en considérant 0>fi> — 1, 



y^A{px+q)ie--^2p-'vH\-v) ^dv + Bie-~-I^'v ' (l-v) (--*') dv (240). 



o « 



