56 HJ. HOLMGREN, 



Pour ,M = — 1, rintégrale de Téqu. (233) est 



■i/==A + B e-'^^d,x (241), 



et pour ;W= O 





^( J + sfeH-ds) (242). 



Ces formules suffisent pour donner, a Taide des transformations (236) et (237), lin- 

 tégrale de Téqu. (233) dans tous les oas possibles. 



En appliquant directement ä Téquation (233) l'un ou Tautre des théorémes du 

 § 1, on trouve que 



(tt (px + gi" 



en est une intégrale particuliére, si pour Xq ou prend une racine de Téquation 



1 (P--c + qfl 



■ e 2p = 0. 



n-u-i] 



Quand p > O, on satisfait ä cette équation par *' = + °° , ce qui fournit deux in- 

 tégrales particuliéres de Téqu. (233), dont Tintégrale générale peut donc étre proposée 

 aussi sous la forme 



u, {px + q)~ It (px-i-q)" ■ . ^ 



^j = AD'^^^,e--^li^ + B-Dl_^e--^~ (243), 



toutes les fois que le rapport des deux intégrales n'est pas constant, ce qui n'a lien 

 que lorsque jU est un entier positif ou zéro. 



Le oas de p<0 se raméne a celui de ;:)>0 par la transformation (236). 



§ 10. 



Cas de b;—4:a,c, = 0. 



L'équation (1) se réduit alors a la fonne 



(x-afi/' + \p(x-a) + qy + rt/ = (244). 



Substituons la nouvelle variable indépendante u, liée k x par Téquation 



«-« = — (245), 



u — u 



d'oii 



y'x =-{■"■- afy\, 



yl = (m - cefyl + 2{u - a)% ; 



réquation (244) se transforme d'abord en 



(u — aj'y" + (u — «) [ — q{u — a) + 2 -p \y' + ry = 0. 



Dans cctte équation, posons 



y = {u-aY^'z (246), 



