INTEGRATION d'uNK ÉQUATION DIFF É R ENT I ELL E. 57 



nous aurons 



(u - ctfz" + (m - Cl) I - q('u - a) + 2,a + 4 -/>]«' + {(fi f 1) (/li -p + 2) + »• - q(/ii + l) (u~a)\z = 0, 



qui se réduit k 



(u-a)z" + \'-q(u-c<) + 2^ii + 4:-py -q(,u + \): = (247) 



si Ton pi-end pour ," une racine de Téquation 



ijU^l) (,u-p + 2) + r = 0, 

 c.-a.-d. Tune ou Tautre des deiix quaiitités (28) 



, __y -3+V(j ;-l)^-4)- 

 /" — b 



j,_3_>^(^,_l)2_4,-. 

 ,a = ;^ =p-3-^ 



Par la substitution des nouvelles variablas 



1 

 .1' — or = — 



(248). 



(249), 



y = («-«)" "'4' 



réquation (244) se raméne donc ä Téqu. (247), dont Tintégrale s'obtient toujours par 

 les formules dii § 7. 



Si, par les formules (248), on expriuie les constantes j^ et r en fi et //", on 

 aura, comme dans le § 3, 



p = /«'+,«" +3 



r = (,«' + !) (,«" + !), 

 et réqu. (244) se présente sous la forme 



(,r- ccfy" + \{ju'^n"^. 3) (.;-cO+?>' + (,«' + !) (^'"+l),v = (250). 



L'équation (247) devient de méme, en prenant ,u^^f^i\ 



{u - a)z" + I - 9(m - a) + ,a' -,«"4 1>' - q(/ii'^l)z = O (251), 



et la relation entré y et z est exprinaée par les formules 



,?■ — « = 



2f ~fi 



1 ^ (252). 



L'intégrale générale de Téqu. (251) est donnée dans les divers cas par les for- 

 mules (157) — (160), a Texception de celui ou ,u' — ,w" est un entier ou zéro. Notis savons 

 de plus, qu'ä Taide des formules de transformation exposéer § 7, il suftit de considérer 

 le cas ou, p. ex., /''-|-1 et /<"-|-l se trouvent comprises entré O et 1. Dans ce cas, la 

 formule (157) donne 



z = AI)[[ „ el" (u - «)•"" + B(x - «)'"" " '' Du. „ e«" (u - «)'*' 



OU, en vertu de la definition (5) pour m = 0, 



1 1 



z = A(ii, - «>»"-"' fe? "-")" „^"(l _ w)-f.»' + iVfo + 5 P«'"-"~" r"'(l - v)-"'"'-'\iv; 



o (r ' 



K. Vet. Akad. Handl. BJ. 7. N:o 9. 8 



