Vogler, Variationsstatistische Untersuchungen an den Dolden etc. 7 



84 ist aber so scharf ausgeprägt, daß er nicht lediglich dem Zu- 

 fall zugeschrieben werden kann. Ich möchte eher an die Unzu- 

 lässigkeit rein mathematischer Ableitung der Gipfelzahlen glauben, 

 wie sie Ludwig am angegebenen Orte versucht. Für die Haupt- 

 zahlen der Fibonaccireihe können wir uns bekanntlich eine Vor- 

 stellung machen über den Rhythmus, nach dem sich die Anlagen 

 teilen müßten, damit diese Zahlen bevorzugt seien. Ferner läßt 

 sich eine nachträgliche Verdoppelung leicht vorstellen, sodaß man 

 die ersten Nebenzahlen erhält. Mindestens ebenso leicht ist dann 

 aber noch eine zweite Verdoppelung denkbar, wodurch wir die 

 Quadrupla erhalten. Ich möchte also nur um eines mathematischen 

 Prinzipes willen die Zugehörigkeit der Zahlen 52 und 84 zur 

 Fibonaccireihe nicht ausschließen. Daran anschließend mag ferner 

 noch aufmerksam gemacht werden auf das absolute Fehlen von 

 Gipfeln auf den drei- und fünffachen Multipla der Hauptzahlen, die 

 nach Ludwig in die Reihe hineingehören, in urisern Kurven. Eine 

 sukzessive Verdoppelung der Anlagen ist übrigens schon a priori 

 einfacher vorstellbar als eine Verdrei- oder Verfünffachung. 



Nachdem wir so die große Mehrzahl der Gipfel unserer Kurve 

 der gesamten Blütenzahlen mehr oder weniger leicht einreihen 

 konnten in die vom Ludwig'schen Gipfelgesetz geforderte Zahlen- 

 reihe, bleiben aber doch noch zwei Kurvenabschnitte übrig, die 

 sich unter keinen Umständen fügen: Die dreigipflige Erhebung 

 zwischen 69 und 83 und die zweigipflige zwischen 56 und 63. 

 Bloßer Zufall können sie nicht sein; denn sie treten ebenso deut- 

 lich hervor, auch wenn wir nur die Dolden mit sechzehn Hüll- 

 blättern oder sechzehn Zwitterblüten berücksichtigen; ebenso dürften 

 Summationsgipfel ausgeschlossen sein. In keinem dieser beiden 

 Kurvenabschnitte liegt irgend eine Haupt- oder Nebenzahl der 

 Fibonaccireihe, sodaß hier wohl eine andere Gesetzmäßigkeit zu- 

 grunde liegen mag. Zur sichern Feststellung einer solchen ist 

 aber das Material doch noch zu spärlich. Aufmerksam zu machen 

 ist immerhin auf folgendes: Ähnlich wie die Fibonaccireihe lassen 

 sich durch. Annahme ganz einfacher aber etwas modifizierter Art der 

 Anlagenvermehrung noch andere Reihen erhalten. Unter diesen ist 

 die bei Ludwig 1 ) als Trientalisreihe angeführte für uns speziell 

 hervorzuheben; ihre Hauptzahlen sind nämlich: 1, 3, 4, 7, 11, 

 18, 29, 47, 76 u. s. w.; Dupla, Tripla und Quadrupla etc. davon 

 geben die Nebenzahlen. Es fallen davon in die beiden Intervalle: 

 58 als Duplum von 29; 76 als Hauptzahl, 72 als vierfaches von 18. 

 Wenn die letzten zwei auch nicht gerade Gipfelzahlen sind, so 

 sind es doch Nachbarzahlen von solchen. Dazu kommt noch, daß 

 die beiden Knickungen der Kurve der Hüllblätter auf 18 und 14, 

 d. h. auf einer Haupt- und einer Nebenzahl der Trientalisreihe 

 liegen. Ebenso ist hier auch auf die Abflachung des dreizehner 

 Gipfels der Zwitterblüten aufmerksam zu machen und darauf, daß, 



*) Beiträge zur Phytarithmetik. III: Eine neue Darstellung der Näherungs- 

 werte der Kettenbrüche und die Verwandtschaft der phyllotaktischen Haupte 

 reihen. (Bot. Centralbl. 71. 1897.) 



