•180 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



OU m(x) et N(y) sont Ies fonctions donnees. Ces fonctions m(x) et 

 N(y) ne sont pas completement arbitraires ; elles doivent satisfaire 

 aux conditions 



^{a)—u.(o)=:N{o), 

 (4) V(j3)— v(o)=m(o), 



M(a) — m(o)=n(J3) — n(o), 



qui expriment qiie z(x,y) est conţinu aux sommets du parallelo- 

 gramme. 



Pour resoudre le probleme, observons que la solution z(x.y) de 

 l'equation (2) est donnee par la formule 



X y 

 (5) z(x,y)=a(x) + v(y)-a(o)+yjK(x,y;^,-ri)[u.(^j+v(-^)-{j.(o)]d^dT, 



o o 



ou K(x,y;^,'r]) est une fonction linie qui existe toujours et satisfait â 

 l'equation 



' ^ -1:1 



;^i^yJ 



(6) k(^,-ri)— K(x,y;^,7])-|-^yk(u,v)K(u,v;Vr])dudv=o. 



Iv 



Cest un cas special de la theorie de M. Fredholm resolu aupa- 

 ravant par MM. Volterra et Le Roux. 



La valeur de z(x,y) prise de (5) et introduite dans Ies equations 

 (3) donne 



,,(x)_M(o)=:jjK(x,p;^/^)[p.©+v(iQ)-^(o)]d^d-r], 



(7) 



N(y)— N(o)=JjK(a,y;^,Yl)[[A(^)-fv(Y])— [A(0)]d^dT.. 

 o o 



Admettons pour un moment — nous le demontrerons apres — 

 que ces dernieres equations fonctionnelles en iji(^) et v(y]) (7) ont 

 des Solutions. Observons encore que ces equations auraient ete 

 exactement Ies mâmes si, â la place de m(x) et N(y), nous avions 

 mis m(x)-|-c et N(y)+c', c et c' etant des constantes. Cette circon- 

 stance nous permet a determiner Ies constantes c et c' de telle 

 maniere que Ies conditions (4) soient remplies. En effet, Ies fonc- 



