DULE'l'lNUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 183 



Nous pourrons maintenant ecrire Ies equations (8) sous la forme 



a 

 *(X) =«X) +jH^mi) + B(x,$)-X($)]d$, 



(9) \ 



o 



Nous obtenons ainsi un systeme d'equations int^grales. M. Hil- 

 bert a indique un procede pour remplacer ce systeme par une 

 seule equation integrale. Defmissons dans ce but Ies fonctions 

 suivantes dans l'intervalle de o â 2 a : 



f(x) =r tb(x) pour o^x-=:a 



= T(x-a) n a^x^2a 



cp(x) -_= '^(x) n o-x-=;a 



= y^{x-OL) r, a^x^a 



G(x,^) = a(x,^) » o^x-=a 0£:^*:a 



=1:1 B(x,^-a) " o^x^a a:^^^2a 



==: c(x-a,^) » a^x^2a o^^<:a 



^=3 D(x-a,^-a) » a^X;^2a a;^^r^2a 



On peut ecrire alors Ies equations (9) sous la forme : 



2» 



(10) f(x)==9(x)+jG(x,^)9©d^ 



equation integrale qui admet en general une solution. 



On connaît alors 'h{x) et y^{x) et on determine ensuite [x(x) et 

 v(x) par Ies equations 



(i.(x)— (/.(o) =r '\>(x)^ v(x) = ^(x), v(o) = a(o), 



ce qui exige 



(ii) 'Ko)==o 



Sous cette condition le probleme propose relatif a Tequation (i) 

 est en general possible. II y aurait impossibilit^ seulement dans le 

 cas special ou i serait valeur remarquable de l'f^quation (10). Dans 

 ce cas Tequation homog^ne 



2rt 



o = (p(x)+|"G(x,^)9©d^ 



