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Anzahl in dem einen y zu der Anzahl y* der 



p 

 andern addirt Q giebt, dafern -j- der Voraus- 

 setzung nach ein solcher echter Bruch ist, dass 

 Zähler und Nenner relative Primzahlen sind. 

 Es soll über y und y^ noch die Bestimmung 

 getroifen sein , dass y <I y*. 



Erstes Problem. 



Es sollen die Beziehungen der steilsten 



Parastichen gefunden werden zu dem constanten 



P 

 Verhältniss -yr- Wir bedienen uns des abge- 



■q* 



und wählen als -^ 



wickelten Cylinders Fig. 1 



Spirale die Divergenz '/g. Das Problem fordert 

 zunächst die Zahl der Parastichen. Als Bedin- 

 gung der Lage eines Punctes in einer der Spi- 

 ralen haben wir die Gleichung: 



1) 5pn 4- y = 5pn + ^ 



welche nichts andres aussagt, als dass von einem 

 Insertionspunct , der beziffert ist (pxL -\- y ^ und 

 als Ausgangspunct angesehen wird, zu einem 

 andern Punct geschritten werden soll, der um 



'2,71 



-— von cpn nach links oder rechts ent- 

 Q 



lernt ist. Die Zahl y in dem Index 

 links soll bestimmt werden. Multipliciren wir 

 y mitP und dividii'en das Product durch Q, so 

 können wir zum Rest erhalten -f* 1 oder — 1. 

 "Wir erhalten 2 Gleichungen, welche diese Ope- 

 rationen darstellen: 



2) IV = «Q + 1 ; Py» = /iQ — 1 

 da wir von einem festen Punct nach rechts hin, 

 und nach links gehen können, um der Anfor- 

 derung der obigen Gleichung 1) zu genügen. 

 Gehen wir in unserem Schema nach rechts, so 

 möge die Zahl y, gehen wir nach links, so möge 

 sie y* heissen. In der Figur haben die einzel- 

 nen Puncte nur eine Benennung, nach dem Vor- 

 stehenden kommen denselben 3 verschiedene Be- 

 nennungen zu, je nachdem wir ihn im Sinne 

 der Grundspirale oder im Sinne einer der 2 

 Parastichen mit einem nächsten verbinden. Ad- 

 diren wir die beiden Gleichungen in 2), so 

 kommt: 



3) P(r + /) = Q(a + /^) 

 In unserem Schema könnte y der geometrischen 

 Bedeutung nach sowohl die Zahl 3 sein, und 

 so ist die Benennung der Puncte ausgeführt, als 

 auch die Zahlen 5, 7, 9. . . . Die Definition 

 ,, Spirale" der Schimper-Braun'schen Lehre 

 aber fordert die kleinste Zahl, welche der Bedin- 

 gung der Gleichung 1) genügt. In unserem Schema 



ist y = 3, y* = 5. Die Bedingungsgleichungen 

 für den Werth von y und y* unter 1) verlangen, 

 dass yP und yip durch Q getheilt werden kön- 

 nen, da nun P nicht durch Q getheilt werden 



kann (nach der Definition von —I so muss (y 



-f- yi) durch Q theilbar sein. Nach der Schim- 

 per-Brau n'schen Definition einer Spirale müssen 

 y und yl für sich kleiner als Q sein. Es kön- 

 nen mithin auf Parastichen nur folgende Punkte 

 liegen : 



1. Parastiche yO, yO + y, yO -j- 2y, yO -|- 3y. 



2. - 5pl, 5pl -I- y, 5pl + 2y, yl 4- 3y. 



3. - y2, 5p2 -|- y, 5p2 4- 3y, . 

 4. 



8. - SPy — 1> spy— 1 + y, • • . • 



Die Anzahl dieser Spiralen ist y, ihre Diver- 

 genzwinkel — und 



1. Parast. yO, yO -|- yi yO -{- 2yi yO + 3yi. 



2. - yl, yl + yl yl -h 2y>, yl 4- 3yi. 



3. - y2 y2 -1- yl 



8. - ^)y^ — 1 (j)y^ — 1 -f- yl. ... 

 Anzahl dieser Spiralen ist yl ihre Diver- 



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genz — 



wenn man in beiden Fällen mit Nägeli vom 

 1. Blatte die Bezifferung anfängt. 



Nach der Nägel i'schen Bezifferungsweise, 

 der Schimper-Brau n'schen Definition der- 

 jenigen Verbindungslinie, welche man Spi- 

 rale nennt und nach der Schimper- 



P 



Brau n'schen Definition des Bruches — • hat man 



also aus dem Vorstehenden den ganz allgemei- 

 nen Satz: 



P 



Zu einer jeden — spirale gehören 



zwei Systeme anderer Spiralen, von 

 welchen das eine y das andere yi zäh- 

 lig ist, und y und y* so bestimmt sind, 

 dass 



Pv 



y -|- yl = Q und —- zum Rest lässt -f 1. 



Sind alle diese Relationen erfüllt, so 

 ist die Richtung der Grundspirale die 

 der yspiralen. Die y^spiralen steigen 

 in entgegengesetzter Richtung. 



