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Q 3^ y + y 



— «yi. 



Da nun P und Q ganze Zahlen sein sol- 

 len, so muss ßy — ay^ = it 1 sein, dies ist 

 nur dann der Fall, wenn /S <C y* und a <C y 

 und wenn y und y^ keinen gemeinsamen Thei- 

 1er haben, Ist in der Lösung der Gleichung 

 das obere Zeichen gültig, bleibt zum Rest + 1, 

 so steigt die Grundspirale wie die y Spiralen, 

 gilt das untere Zeichen, so steigt dieselbe wie 

 die y^ Spiralen. In der beifolgenden Figur ist 

 die Bedeutung von «, ß, y, y*, demonstrirt, so 



dass es jedem Leser ein Leichtes sein wird, 



p 

 diese Methode auf jeden Fall einer — spirale 



anzuwenden. 



Wir erhalten für die Reihe Va, Vs' ^/s ^/s' 



*/i3 5 ^l2iy **/84 Tabelle I. und II.' für 



a, ß, y, y* , und aus die dem Obigen entstande- 

 nen wichtigsten Quotienten. 



In der zweiten Tabelle ist noch die Rich- 

 tung derjenigen Spirale angegeben, welche man 

 den langen Weg nennt. Handelt es sich dar- 

 um, wie meistens in der experimentalen Anwen- 

 dung der Schi m per- Brau n'schen Gesetzmässig- 

 keiten an einem vorliegenden Object, etwa ei- 

 nem Tannenzapfen oder einer Compositenin- 

 florescenz od. a. m. , das Blattstellungsverhält- 



P 



niss und die Richtung der — spirale zu bestim- 

 men, bezogen auf den kurzen Weg nach Schim- 

 per, so hat man nur nöthig folgendes Verfah- 

 ren einzuschlagen : Man suche die steilsten Pa- 

 rastichen, notirt deren Zahl und Richtung, geht 

 mit den Zahlen in die letzte Tabelle *) ein 

 und bestimmt P und Q; und findet die Rich- 



P 



tung der — spirale in der letzten aus dem Quo- 

 tient der vorhergehenden Colonne. 



*) Ich verweise bezüglich der zur Demonstration 

 nöthigen Beispiele , sowie der Anwendung der hier 

 entwickelten Regeln auf jede andere Reihe von 

 P 

 •^ Stellungen auf das Hofmeister'sche Handbuch. 



Tabelle ffl. 



^h 



Reihe 



29 



'27 



2/9 



V* Vg 



14 



Reihe ^ ^/^^ 



% 



fl3/, 



links I 

 rechts/ 



2 



3 

 5 

 8 

 13 

 21 

 34 

 55 



3 

 4 



7 

 11 



18 



4 



5 



9 



15 



39 



I rechts 

 |links 



3 

 5 

 8 

 13 

 21 

 34 

 55 

 89 



4 



7 

 11 

 18 

 29 



5 



9 



15 



24 



39 



Py 



— -:p lässt 



zum Rest 

 + 1 



— 1 



+ 1 



— 1 



+ 1 



— 1 



+ 1 



— 1 



+ 1 



— 1 



+ 1 



— 1 

 + 1 



— 1 



— 1 

 4- 1 



— 1 



+ 1 



— 1 



+ 1 



Die-^ 

 Q 



spirale 

 steigt wie 



d. y> spir. 



y . 



Y ' 



yl . 



yX - 



Y ' 



1 _ 



A - 



1 _ 



Y 



Y - 



yl - 



Y ' 



y' - 



Y - 



Sind in einer Querschnittsebene mehrere 

 Insertionspunkte äquidistanter Auszweigungen, 

 so findet man für die Zahlen y und y* einen 

 gemeinsamen Theiler. Die Zahl dieser ge- 

 meinschaftlichen Theiler kann 1, 2, 3, ... n 

 sein. Es giebt diese Zahl bekanntlich die Zahl 

 der in einer Ebene liegenden Insertionspunkte 

 an, so dass viele solcher Ebenen sich in der 

 gegenseitigen Lage so verhalten, wie früher 

 eine Ebene mit nur einem Insertionspunkt. Die 

 Zahl der Grundspiralen wird 1, 2, 3 . . . n 

 und die Zahl der y und y* Spiralen wird resp. 

 \ y, 'i y^ 3 y . . . n y; 1 y', 3 y* . . . n y*. 



Sind allgemein n äquidistante Insertions- 

 punkte in einer Ebene, so hat man an dem 

 Object n Grundspiralen. Ist die Höhendistanz 

 so gering, dass die Grundspirale nicht mehr in 

 das Object hinein construirt werden kann, und 

 findet man dagegen n y und n y* Spiralen , so 



