46 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



QUELQUES REMARQUESSUR L'EQUATM INTEGRALE DE FREDHOLM 



PAR 



T. LALESCO 



DOCENT A L'UNIVERSITE DE BUCAHEST 



i. Dans ce travail nous presentons quelques remarques sur l'e- 

 quation integrale de Fredholm. 



( i ) ?(x) + X / b N(xs)ş(s)ds = f(x) 



Ja 



Nous ^tablissons d'abord la formule de Mr. I. Fredholm en cher- 

 chant directement si l'equation n'admet pas comme solution une 

 fonction meromorphe deX; cette m^thode conduita des calculs sim- 

 ples et permet de trouver une formule nouvelle ') pour le cas d un 

 noyau non borne N (xs) de la forme. 



(2) N(xs)= I |^(o<«<i) 



Nous tirons des remarques deja faites par Mr. Fredholm un cer- 

 tain nombre de conclusions sur l'ordre et le genre des fonctions 

 entieres D(X) et D(* X) dans le cas d'un noyau borne ou de la 

 forme (2). 



A l'aide d'une formule due aussi a Mr I. Fredholm nous en de- 

 duisons un criterium pour la nonexistence des »valeurs propres"; 

 ii permst de retrouver immediatement un theoreme important dCi 

 â Mr E. Schmidt, pour la cas d'un noyau symetrique borne et de 

 geneYaliser ce theoreme pour le cas (2) ; ii est aussi susceptible 

 d'autres applications. Nous ajoutons enfin un criterium pour l'e- 

 xistence d'un nombre fini de valeurs propres, qui a £te ensuite 

 6nonce d'une fagon plus elegante par Mr. E. Goursat 2 ). 



2. Une solution de l'equation (1) est donne par la formule 



(3) ? (x) = f(x) - •),£ Srt(x,s : X)f(s)ds 



1N .T'ai presente un resume de ces recherches dans deux consecutives des Comptes-Rendus : 

 Sur l'ordre de la fonction D (!■/ de Fredholm (pag. 906) et Sur la fonction D (Ij de fre- 

 dholm (pag. 1136). Toine 145, 1907. D.mi une note ulterieure(.t. 147, pag. 1367. 1908), Mr II 

 Poincare a repris ces questions qu'il developpe dans un memoire des Act» Matematica qui 

 vient de paraitre, (n° 33,1). 



*) E. GOURSAT. Annalles de la Pac. de Toulouse. 1908, pag. 98. 



