BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 47 



oii $( (xs ; X) est une tonction satisfaisant aux ^quations tonction- 

 nelles 



6>T(xy) = N(xy) — X/ N(xs) â%y)ds 



(4) 



oY(xy) = N(xy) — xf JV(xs) N(sy)ds 



Cest ce que Ion trouve imme\iiatement si l'on cherche une so- 

 lution de la forme (3) ou si Ton applique Ies approximations suc- 

 cessives '). 



L'etude du caractere analytique de la solution (3) par rapport 

 â X revient donc â celle de Si (xy ; X) qu'on appelle le noyau re- 

 solvant ; nous avons ainsi elimine la fonction arbitraire tp (x). 



Cherchons maintenant si l'une des equations (4), la premiere 

 par exemple, n'admet pas comme solution une fonction meromorphe 

 de X ayant la forme : 



~ Vi Ao(xy) + XA^xy) +-■+ X" A n (xy) +..,. 



Substituant en (4) nous trouvons Ies conditions : 

 A (xy | = N(xy) 

 A ,(xy) = a, N(xy) - / N(xs) A (sy)ds 



A^xy) = a 2 i\"(xy) — I N(xs)A 1 (sy)ds 



et en general 



rb 

 A n (xy) = a„ X(xy) — J N(xs)A„ _, (sy)ds 



11 suffit maintenant de nous imposer la condition 



1 f h 

 a,,- | A,, ,(ss)ds 



pour r<trouv<rr la formule de Mr. 1. I'redholm. En effct on a alors 



A , , | N(xy)/ N(ss)da — f N(xs) N(sy> 1 1 



J, |N(xy)N(sf) •'» l y s / 



*)T. E.G00M41 L. c. [Mg. 9- It, 



