50 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



X d'ordre au plus egal â deux ; c'est d'ailleurs la seule car Ies deux 

 relations (i) et (3) sont reciproques. 



3. Si le noyau satisfait par rapport â la variables â la condition 

 de Lipschitz generalisee 



| N(xs) — N(xt) | <A | s— t | ? (p>o) 

 Mr. I. Fredholm a remarque que Ton aura 



— P? 



%l<K P -r 



P 



II en resulte 



P 2 ^' V \ a P | <K'. 

 ce qui montre que l'ordre de D(X) est dans ce cas au plus egal â 



2 

 i — ; on tire de lâ Ies conclusions suivantes. 



2p+l' 



Si le noyau est une fonction continue de y satisfaisant â la con- 

 dition de Lipschitz generalisee, l'ordre des fonctions D(X) et 

 D(xy; X) est certainement plus petit que deux ; le genre est dans 

 ce cas zero ou un. 



Si p>|, l'ordre est plus petit que un ; le genre est zero. Nous 

 sommes en particulier dans ce cas si N(xy) a un derivee bornee 

 par rapport â y. 



4. L'etement analytique de 3Z(xy: X) dans le voisinage de 

 X = o est 



(10) c>r(xy;X)=N(xy) - XN, (xy) +.... +(— i)PXPN p (xy)+.... 

 en designant par 



N p (xy)= /^(xsj) NCsjS.,). . N(sp_is p ) N(s p y) d(s,s 2 ...s p ) 



qu'on appelle aussi le p-me noyau itere. 



La formule (9) divisee par D(X) conduit alors â la relation. 



(11) bg d ^ X) =y b ^r(ss;X)ds=n 1 -n 2 X+.... + (-i)n P p - i XP- , + .... 



enposantn p =i N p _-i(ss)ds 



Par int^gration on obtient la formule fondamentale 



X 2 p -i Xp 



(12) logD(X)=n I X-n 2 - + .... +(-!)' n p -+.». 



