BLLETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 5i 



Mais l'expression generale de D(A) est de la forme 



D( A) = e ti E k 



k=l 



Et etant le facteur primaire correspondant au zero A^: s'il n'y 

 a aucun zero, on a necessairement 



log D(X) = aA+Şa 2 



II en resulte que dans ce cas. d'apres (12) on aura 



n p =o (p>2) 



Reciproquement, s'il en est ainsi, D(A) n'a dvidemment aucun 

 zero. Donc, pour qn'il ri existe auciine valeur propre, ii est ne- 

 cessaire et suffisant que Von ait n p = o pour p)2. 



Dans le cas d'un noyau symdtrique, on a : 



n , = £ b N(s 1 s 2 ) N(s 2 s 3 ) N(s 3 s 4 ) N(s 4 s,) d(s 1 s 2 s 3 s 4 ) = 

 J^Vs^N^s.) d( Sl s 3 )=/ a L [N^sfl 2 d(s,s 3 ) 



<2) (2) 



On a donc n 4 ± o â moins que N(xy) = o ; un noyau syme- 

 trique a donc au moins une valeur propre. Nous excluons Ies 

 noyaux symetriques discontinues et +0 seulement dans un en- 

 semble d'aire nulle, pour lesquels le theoreme de Mr. Schmidt 

 n'est d'ailleurs plus vrai. Ainsi par exemple pour le noyau 

 sym^trique qui serait partout nul â 1'inteVieur du cară (ab, ab) 

 sauf la diagonale et un nombre fini on plus geneValement une in- 

 finite dănombrable de paires de droites telles que A B, A' B' ou 

 ii aurait des valeurs positives, on a : 



D(A) = e n '" 



H 



et par consequent l'<4quation relative n'a au- 

 cune valeur propre. 



Le calcul precedent nous montre aussi que 

 !'•' tout noyau qui conserve un signe constant â 

 l'int/:rieur du carre* (ab, ab) a aussi au moins 

 une valeur propre. 



