52 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



5. Si D(X) ii 'a que k zeros, son expression aura la forme 



D w=^ +bi '('+^H i +x>( i +^) 



Par consequent 



(13) logD(X) = aX + b\- + 2 log( 1 + £-) 



1 A p' 



En identifiant avec (12) on obtient 



n ' = sr + ^ + "+xf k 'l 1>2) 



Reciproquement, s'il en est ainsi, la formule ( 1 2) se met imme- 

 diatement sous la forme (13). Donc, pour qu'il y ait k valeurs 

 propres, ii est necessaire et suffisant que Ies nombres n p (p>2) 

 soient Ies sommes des puissances semblables des k memes quan- 

 tites. Si'l en est ainsi, ii existe nne meme relation de recurrence 

 de la forme : 



a n p + a^p+i -f- + a k n p+ t=o (p>2) 



entre ces nombres et reciproquement ; on retrouve ainsi l'enonce 

 du a Mr. E. Goursat. . 



6. Nous allons montrer maintenant que la formule de Mr. 

 Fredholm peut se mettre sous tine autre forme qui nous sera utile 

 pour le cas du noyau (2). Faisons dans toutes Ies relations (7") un 

 certain nombre de n* (i = i,....'k) egaux â zaro; on a le droit 

 de le faire, puisque cela revient en vertu de (6) â prendre a 4 = a 2 = 

 ak = o et âremplacer nj (i = [,.... k-i) par ze>o dans Ies formules 

 (6) qui definissent Ies a, pour i>»k. Or ceci est permis car ce sera 

 par definition la loi de determination des a;. 



Si nous ecrivons b et B a la place de a et A pour designer Ies 

 nouveaux coefficients ainsi obtenus, nous pouvons ecrire cette 

 nouvelle formule 



( ia) dlUs- ■ XI - B (xy) + XB 1 (xy) + .... + X "B n (xy)+... 

 (14) c*(x) ,X) i + v _. M2+ +Mn + 



On aBJxy) = N(xy) 



b, — b^ = .... bt = o 



b i = -/ Bi-i(ss)ds i>k 



