54 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



sulte immediatement si nous remarquons que l'on peut mettre l'e- 

 quation integrale de definition du noyau resolvant sous la forme 



c>?( X y)= N(xy)-XN 1 (xy) + .... +(_i)k^N k (xy) + 

 (_î)k x k I b N k (xs)c>r(sy)ds 



Si nous resolvons cette equation de Fredholm dont le noyau 

 est Nk(xy) et dont le parametre est X k , nous obtenons pour SI(xy) 

 une expression de la forme 



^ Xy) D k (X'<) 

 ou l'on a 



D k (X k ) = i + wf* N k (ss)ds + ^N k ( S S ; j)d Sl ds s 



+ .... 



et ou ii est facile de voir que D k (xy; X k ) s'obtient de D k (X k ) en 

 remplacant Ies £lements N k (xs) de la premiere ligne de chaque de- 

 terminant par 



N(xs) — X N^xs) + ....+(— i) k -»X k -i N k _!(xs) 



Remarquons que D k (X k ) est une fonction ordinaire de Fre- 

 dholm en X k au point de vue de l'ordre. 



Une autre relation importante est la suivante. 



(19) D k (X k ) = D(X)D(aX).... D(aX k -i) 



ou a d<6signe une racine M-me de l'unite, comme cela resulte â 

 priori de la propriete des valeurs propres, ou mieux encore par 

 une verification immediate en prenant Ies logarithmes et en tenant 

 compte de (11). 

 On deduit encore 



(20) D k (X k ) = D,(X) D,(aX).... D 4 («»-«X) 



8. Enfin une formule signalee par Mr. H. Poincare^ resulte de ( 1 7). 

 Si l'on groupe Ies termes de k en k. elle s'ecrit 



D',(X) ~ rk ~ r k 



ţJTxŢ^Zj nrk + 1 (~ '^ ~ x 2j n rk + 2(— X) +.... 



... 00 



+(-*ri>rk+k(-x) r 



