BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 55 



ou en echang-eant A en — A 



: — 2j rk + 1 +^2j rk + - "•"•••• 



D, ( -X) 



+^""£n rk+k x 



r=l 



rl 



L'expresion : 



2N kr+3 (xy)X rk 



est la solution de T^quation integrale. 



(2 2) 0^(xy)=N k+s _d (xy) +X k jN k (xs) ctf(sy) ds. 



de sorte que nous verifions par une autre voie que le second membre 

 de (27) est une somme de fonctions meromorphes identiquement 

 egale â la derivee logarithmique d'une fonction entiere. 



9. Nous avons maintenant tous Ies elements pour traiter le cas 

 du noyau. 



N ^= ( *r.(° <« <*> 



On sait que dans ce cas si l'on prend successivement Ies noyaux 

 iteres, apres un nombre fini d'iterations, ils ne deviennent plus in- 

 finis pour x=y. Le premier noyau iteVe fini est celui dont l'indice 

 k est le premier nombre entier pour lequel. 



(k4-i)a— k<o 



c'est-â-dire . k> 



1 — 7. 



, k 



condition qui peut s ferire encore i_r~ ><* 



Par exemple pour «<— on a *= 1 • 



Le nombre k etant ainsi defini, nous n'avons qu'â appliquer la 

 formule (15), qui nous montre que le noyau se compose d'une 

 pârtie d'-venant infime pour x=y et d'une autre qui est le quotient 

 de dera s<-rie entieres de X dont Ies coefficients sont tous finis 

 pout x=y. 



