56 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



La relation (21) nous montre que dans ce cas aussi la serie qui 

 donne D (X) est. une fonction entiere; en effet chaque somme du 

 second membre est d'apras ce que nous avons dit plus haut une 

 fonction meVomorphe de X, câr Ies noyaux N^fs— i(xy) et Nk(xy) 

 sont finis dans tout l'intervalle et par consequent Ies 6quations (22) 

 admettent dans ce cas aussi comme solution des fonctions mero- 

 morphes de X. D'autre part la relation (20) 6tant une identite 

 en X, le second membre est formellement egal â une derivee lo- 

 garithmique. Comme c'est une fonction meromorphe de X, ii resulte 

 que c'est bien la derivee logarithmique d'une fonction entiere deX. 



In vertu de (16), ce resultat demontre en meme temps le meme 

 th6oreme pour la fonction Dj(xy : X). 



10. Pour etendre â ce cas aussi Ies theoremes sur l'existence 

 des valeurs propres, ii faut determiner l'ordre de la fonction en- 

 tiere D^X). 



La relation (20) nous montre aussitot que si ni est l'ordre de 

 Dk(X), celui de D X (X) est egalâmk. En effet l'ordre de Dk(X k ) est 

 evidemment mk ; or tous Ies facteurs Dj(a 'X) (i=i,..k — 1) ayant 

 le meme ordre, l'ordre de leur produit sera le meme, d'ou ii resulte 

 que l'ordre de Dj(X) est bien mk. 



En particulier, nous avons vu que m est de la forme ^r — 



si la condition de Lipschitz generalisee est remplie et que dans 

 tous Ies cas ii est plus petit que deux. 



On peut donc affirmer que l'ordre de Dj(X) est au plus egal â 

 2k et par consequent fini. 



La condition necessaire et suftîsante pour qu'il n'y ait aucune 

 valeur propre est donc dans ce cas n p = o (p>2k). 



Dans le cas general l'ordre de Dj(X) sera plus petit que 2k; 

 pour qu'il soit plus petit que 1, c'est-â-dire pour que le genre de 

 D^X) soit nul ii faudra que 



2k 



20+1 



Mais l'exposant de Lipschitz pour le k-me noyau ite>e" est 



p=k-(k+-.)a. 



II faut donc que 



2k 



2k — 2 (k-|- r) a-j- 1 



