320 , BULETINUL SOCIETĂŢI] DE ŞTIINŢE 



Par contre, prenons comme inconnue â la place de y en (i), la 



d n y 

 derivee -3— d'ordre le plus eleve et posons : 



d n y 

 dx» 



L'equation (1) pourra s'ecrire alors sous la forme: 



n 



(2) 2 b pW/ ZdxP = ° 



P--° 



ou l'on a : 



et 



b P (x)==a n - p (x) 



/ zdxP = /dx /dx /zdx 



p 



Nous dirons qu'j l'equation (2) est mise sous forme integrale. 

 Faisons dans (2) n egal â l'infini : nous obtenons un autre type 

 d'equations d'ordre infini, qui jouissent de toutes Ies propriet^s des 

 equations lineaires d'ordre fini lorsque Ies a p (x) restent finis avec 

 p et qui en constituent de cette facon une generalisation plus 

 appropriee. 



Nous designerons Ies equations du type (2) sous le nom d'equa- 

 tions integrales et nous conserverons pour celles du type (1) le 

 nom d'equations differenticlles d'ordre fini ou infini. Le but du 

 present m^moire est de montrer Timportance de ces deux classes 

 d'equations d'ordre infini. Les premieres sont etroitement liees â 

 la theorie des Equations fonctionelles modernes, tandis que les se- 

 condes aussi ont leur importance pour une autre classe d'equations 

 fonctionnelles : nous le montrerons par quelques exemples, en 

 particulier par les equations fonctionelles des fonctions Gamma. 

 La liaison entre ces fonctions et les fonctions hypergeometriques 

 qui a ete mise en eVidence par M r Mellin de Helsingfors *) dans 

 une remarquable etude recente a son origine dans une propriete 

 beaucoup plus generale et au fond classique, de la liaison qui existe 

 â l'aide de la transformation de Laplace entre une equation 



') Mathematische Annalen. Bd. 68, 1910, pag. 305 — 337. 



