BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 321 



differentielle lineaire d'ordre n, dont Ies coefficients sont des poly- 

 nomes de degre m et entre une certaine ^quation d'ordre m qui en 

 derive. Cette propriete s'applique aussi aux equations diffeVentielles 

 lineaires d'ordre infini et donne comme un cas particulier les fonc- 

 tions reciproques de M r Mellin 1 ). 



3. Au point de vue historique j'ai â citer Ies travaux de M r Pin- 

 cherle et Bourlet pour Ies proprietes operatoires et aux de M r H. 

 von Koch qui a etudie une classe de systemes cV equations diffe- 

 rcntielles lineaires d'ordre infini, comme application de ses re- 

 sultats sur Ies leterminauts infinis. 



Les equations integrales d'ordre infini 



4. Le probleme de Cauchy. — Considerons l'equation : 



(3) y+a,(x) f ydx+a. 2 (x) f ydx 2 + + a n (x) f ydx»+ == f(x) 



et supposons que les fonctions a n (x) ont un certain domaine 

 d'existence R qui esc d'un seul tenant avec l' origine. Soit A n le 

 module maximum de A n (x) en R ct supposons que A„ ne croît 

 pas indefiniment avec n ; soit alors A>A n , pour toutes les valeurs 

 de n. Nous nous proposons d'abord dV-tudier le probleme de Cau- 

 chy, qui peut etre formule ici de la maniere suivante: 



Determiner une solution telle que ses integrales de divers ordres 

 prennent des valeurs donn^es Cn â 1'origîne. Nous avons dans 

 ce cas 



/ ydx= / ydx + C, 



fydx^fylx^+C.x+C, 



f vlx" = /ydx" + C, + + C „ , x + C„ 



Ja J" (n— [)! 



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