BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 323 



y t = f(x) — ş(x) 



y a = ~[a,(x) py t dx + + an(x)JVidx"+ ]= D(y,) 



(6") y 3 = D(y 2 ) 



y n = D(y„_,) 



II s'aţnt de demontrer que la serie 



(7) >'i + y-i + + y« + 



converge uniformement dans le domaine R : elle sera alors la so- 

 lution cherchee. Or on a : 



y. <M 



y, <AM(e*- i)<AMk,x 

 (7') y 9 <A 2 Mkie X - i — ^<A*Mk,k 2 ^" 



e — 1 — — — — .) 



1 (n— i)l/ 



<A"AIk,k J k n —. 



n ! 



Ies constantes k n etant determinees par Ies conditions : 



x xx 2 x n -' x" 



e — I :— : <k n — 



1 2! n — 1! n! 



dans le domaine R. Mais pour toutes Ies valeurs de n on a k„-<k, 

 ou k d^pend seulement du domaine R: donc la serie (7) admet 

 pour majorante la serie de e Akx - ce qui demontre notre propo- 

 sition. 



Cest d'ailleurs la seule; en effet leur diffeVence z, si R est sim- 

 pl':nv:nt connexe â l'origine — ce que nous le supposons — , devrait 

 verifier l'e>juation (5) sans s'-cond membre et l'on aurait alors 



z— y n j = D(z— y n _,) 



t- - ire Ies memes relations ('/'); on en deduit: 



lim (z — y„) = o 



