324 BULETINUL SOCIETĂŢI] HK STIIM'K 



d'oîi : 



z — lim y n = o 



n = oo 



c"est-â-dire 



z = o. 



Le probleme de Cauchy est donc complet mii snt re.;olu pour 

 notre cas : Si Ies coefficicnts a n (x) ont un domainc cotnmun 

 d'existencc R ou le module maximum A„ ne croit pas indefini- 

 ment avec n, ii existe une solution et une seule tel le gue ses inte- 

 grales de divers or dres prennent des valcurs quclamqucs C„ 

 donnecs ă Vavance, assujettis ă la scule condition [6' K dans un 

 point autour duquel R est simplement connexe. 



Ce theoreme est d'une grande generalite : ii contient comme cas 

 particulier le theoreme fondamental de la theorie des equations 

 differentielles lineaires d'ordre fini et le premier theoreme de M r V. 

 Volterra, concernant son equation fonctionnelle. 



Si Ton limite le domaine R, â un domaine lineaire, comme par 

 exemple une portion de l'axe reelle, la condition sur la connexite 

 es 1 : evidemment inutile. 



Le caractere lineaire de l'equation (5) nous permet d'ecrire la 

 solution obtenue sous la forme 



y = F (x) - C.^^x) - Cj* a (x) + - C„<h n (x) + 



en designant par F(x) et ^(x) Ies solutions qu'on obtient si le 

 second membre est respectivement f(x) et a>n(x). 



5. On peut montrer que Ies solutions <I'n(x) sont lineairement 

 independantes. En effet si l'on avait 



C.d^x) + C 2 * 2 (X) + + C n «I>n(x) = O 



pour un systeme particulier de valeurs initiales C, ii resulterait que 

 la solution de (5) avec ces constantes initiales est identique â celle 

 dont Ies constantes correspondantes sont nulles ce qui est im- 

 possible. 



La demonstration precedente nous montra ensuite que le do- 

 maine d'existence de la solution n'est conditionne que par celui 

 des fonctions a n (x) ; ii en resulte que Ies singularites des integra- 

 les de (1) sont ceUes des coeftîcients a,,(x) et par consequent sont 

 fixes. 



