320 BULETINUL SOCIETĂŢI] DE ŞTIINŢE 



c'est-â-dire 



v = e^ a ' (x)dx 



La fonction v est finie continue et differente de zero dans le 

 domaine R, et par consequent, nous sommes dans le meme cas, 

 que celui trăite, avec aj(x)=o. On peut donc dire : 



Les fonctiuns * n (x) sont loutes des fonctions entieres en \ de 

 genre zero. 



Le mem: raisonnement montre quc si dans une equation inte- 

 grale, le premier coefficient qui n'est pas nul est au(x), l'ordre des 



fonctions <I J n (X N en A est -r au plus. Ces remarques ont leurs ana- 



logues dans la theorie generale de l'equation de Fredholm et nous 

 seront utiles pour les problemes analogues suivants. 



7. D 'antres problemes d'existence. — Proposons-nous mainte- 

 nant d'aborder d'autres problemes d'existence, en donnant les 

 valeurs des diverses intdgrales, non seulement dans un meme point, 

 mais en defferents autres points du domaine R. 



Prenons d'abord, encore un autre point a^ en dehors del'origine, 

 et supposons que Ton se donne les valeurs de touteş les integrales 

 â 1' or igin e sciuf l'integrale d'ordre k, qui est donnee au point aţ. 

 Supposons encore les donnees initiales nulles, ce qui n'amoinrlrit 

 pas la generalites du probleme. On a dans ce cas, d'abord: 



/yclx' = j \\\\ r r<k 



. r . / o 



on a ensuice : 



/ ydx u — / X ytlx k — Pdx / ydx k -' 

 en vertu de la condition imposee au point a, ; posons : 



/ a 'dx r X ydx k -' = kj. 



J O v/O 



on aura alors : 



/ydx k = / X ydx k — k, 



On est donc dans le cas du problnie de Cauchy avec toutes les 

 constantes initiales nulles sauf Cu — k,. La solution sera alors : 



(8) y = F,(x) + k,* k (x). 



